ИЗПЪКНАЛ МНОГОЪГЪЛНИК: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЕЛЕМЕНТИ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А изпъкнал многоъгълник е геометрична фигура, съдържаща се в равнина, която се характеризира защото има всички диагоналите във вътрешността му и неговите ъгли измерване на по-малко от 180 °. Сред неговите свойства са следните:

1) Състои се от n последователни сегмента, където последният от сегментите се присъединява към първия. 2) Нито един от сегментите не се пресича по такъв начин, че да разграничи равнината във вътрешна и външна област. 3) Всеки ъгъл в областта на интериора е строго по-малък от равен ъгъл.

Фигура 1. Полигони 1, 2 и 6 са изпъкнали. (Подготвил Рикардо Перес).

Един прост начин да се определи дали многоъгълникът е изпъкнал или не, е да се разгледа линията, която минава през една от неговите страни, която определя две полуплоскости. Ако във всяка линия, която минава през едната страна, другите страни на многоъгълника са в една и съща половин равнина, тогава това е изпъкнал многоъгълник.

Елементи на многоъгълник

Всеки многоъгълник се състои от следните елементи:

- Страни

- Върхове

Страните са всеки от последователните сегменти, съставляващи полигона. В многоъгълник никой от сегментите, които го съставят, не може да има отворен край, в този случай би имало многоъгълна линия, но не и многоъгълник.

Върховете са връзките на два последователни сегмента. В многоъгълник броят на върховете винаги е равен на броя на страните.

Ако две страни или сегменти от многоъгълник се пресичат, тогава имате кръстосан многоъгълник. Точката на пресичане не се счита за върха. Кръст многоъгълник е не-изпъкнал многоъгълник. Звездовите многоъгълници са напречни многоъгълници и затова не са изпъкнали.

Когато многоъгълникът има всички страни еднаква, тогава имаме редовен многоъгълник. Всички редовни многоъгълници са изпъкнали.

Изпъкнали и не-изпъкнали многоъгълници

Фигура 1 показва няколко полигона, някои от тях са изпъкнали, а някои от тях не са. Нека ги анализираме:

Числото 1 е тристранен многоъгълник (триъгълник) и всички вътрешни ъгли са по-малки от 180 °, следователно това е изпъкнал многоъгълник. Всички триъгълници са изпъкнали многоъгълници.

Числото 2 е четиристранен многоъгълник (четириъгълник), където никоя от страните не се пресича и всеки вътрешен ъгъл е по-малък от 180 °. Тогава това е изпъкнал многоъгълник с четири страни (изпъкнал четириъгълник).

От друга страна, числото 3 е многоъгълник с четири страни, но единият му вътрешен ъгъл е по-голям от 180 °, така че не отговаря на условието за изпъкналост. Тоест, това е не-изпъкнал четиристранен многоъгълник, наречен вдлъбнат четириъгълник.

Числото 4 е многоъгълник с четири сегмента (страни), два от които се пресичат. Четирите вътрешни ъгли са по-малки от 180 °, но тъй като две страни се пресичат, това е не-изпъкнал кръстосан многоъгълник (кръстосан четириъгълник).

Друг случай е числото 5. Това е многоъгълник с пет страни, но тъй като един от неговите вътрешни ъгли е по-голям от 180º, тогава имаме вдлъбнат многоъгълник.

И накрая, числото 6, което също има пет страни, има всичките си вътрешни ъгли по-малко от 180 °, така че е изпъкнал многоъгълник с пет страни (изпъкнал петоъгълник).

Свойства на изпъкналия многоъгълник

1- Некръстосан многоъгълник или прост многоъгълник разделя равнината, която го съдържа, на два региона. Вътрешната и външната област, като многоъгълникът е границата между двата региона.

Но ако полигонът е допълнително изпъкнал, тогава имаме вътрешна област, която е просто свързана, което означава, че като вземем всякакви две точки от интериорния регион, той винаги може да бъде съединен от сегмент, който изцяло принадлежи на интериорния регион.

Фигура 2. Изпъкнал многоъгълник е просто свързан, докато вдлъбнат такъв не е. (Подготвил Рикардо Перес).

2- Всеки вътрешен ъгъл на изпъкнал многоъгълник е по-малък от равен ъгъл (180 °).

3- Всички вътрешни точки на изпъкнал многоъгълник винаги принадлежат към една от полуплоскостите, дефинирани от линията, която преминава през две последователни върхове.

4- В изпъкнал многоъгълник всички диагонали се съдържат изцяло във вътрешната полигонална област.

5- Вътрешните точки на изпъкнал многоъгълник принадлежат изцяло на изпъкналия ъглов сектор, определен от всеки вътрешен ъгъл.

6- Всеки многоъгълник, в който всичките му върхове са на обиколка, е изпъкнал многоъгълник, който се нарича цикличен многоъгълник.

7- Всеки цикличен многоъгълник е изпъкнал, но не всеки изпъкнал многоъгълник е цикличен.

8- Всеки непресечен многоъгълник (прост многоъгълник), който има всички страни с еднаква дължина, е изпъкнал и е известен като редовен многоъгълник.

Диагонали и ъгли в изпъкнали многоъгълници

9- Общият брой N диагонали на изпъкнал многоъгълник с n страни е даден със следната формула:

N = ½ n (n - 3)

Доказателство: В изпъкнал многоъгълник с n страни на всеки връх n са изчертани 3 диагонала, тъй като самия връх и двете съседни са изключени. Тъй като има n върхове, се изчертават общо n (n - 2) диагонали, но всеки диагонал е начертан два пъти, така че броят на диагоналите (без повторение) е n (n-2) / 2.

10 - Сумата S на вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник с n страни е дадена от следната връзка:

S = (n - 2) 180º

Примери

Пример 1

Цикличният шестоъгълник е многоъгълник с шест страни и шест върха, но всички върхове са на една и съща обиколка. Всеки цикличен многоъгълник е изпъкнал.

Цикличен шестоъгълник.

Пример 2

Определете стойността на вътрешните ъгли на обикновен енгон.

Решение: Енегонът е 9-страничен многоъгълник, но ако също е правилен, всичките му страни и ъгли са равни.

Сумата от всички вътрешни ъгли на 9-страничен многоъгълник е:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Но има 9 вътрешни ъгъла с еднаква мярка α, така че трябва да бъде изпълнено следното равенство:

S = 9 α = 1260º

От което следва, че мярката α на всеки вътрешен ъгъл на правилния енегон е:

α = 1260º / 9 = 140º