ПРИНЦИП НА ДОБАВКАТА: ОТ КАКВО СЕ СЪСТОИ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Принципът на добавката е техника на преброяване на вероятността, която ни позволява да измерим по колко начини може да се извърши дадена дейност, която от своя страна има няколко алтернативи, които трябва да бъдат извършени, от които само един може да бъде избран наведнъж. Класически пример за това е, когато искате да изберете транспортна линия, за да отидете от едно място на друго.

В този пример алтернативите ще отговарят на всички възможни транспортни линии, които покриват желания маршрут, въздух, море или суша. Не можем да отидем до място, използвайки едновременно две транспортни средства; трябва да изберем само един.

Принципът на добавката ни казва, че броят на начините, по които трябва да направим това пътуване, ще съответства на сумата от всяка възможна алтернатива (транспортно средство), която съществува, за да отидете до желаното място, това ще включва дори транспортните средства, които правят спирка някъде (или места) между тях.

Очевидно е, че в предишния пример винаги ще избираме най-удобната алтернатива, която най-добре отговаря на нашите възможности, но вероятно е изключително важно да знаем по колко начини да се проведе събитие.

вероятност

По принцип вероятността е областта на математиката, която е отговорна за изучаване на събития или явления и случайни експерименти.

Експеримент или случаен феномен е действие, което не винаги дава едни и същи резултати, дори и да се изпълнява при едни и същи начални условия, без да се променя нищо в първоначалната процедура.

Класически и прост пример за разбиране от какво се състои случаен експеримент е действието на хвърляне на монета или зар. Действието винаги ще бъде едно и също, но не винаги ще получаваме "глави" или "шестица" например.

Вероятността е отговорна за предоставянето на техники за определяне колко често може да се случи дадено случайно събитие; сред другите намерения, основното е да се предвидят възможни бъдещи събития, които са несигурни.

Вероятност за събитие

По-конкретно, вероятността да се случи събитие А е реално число между нула и единица; тоест число, принадлежащо на интервала. Обозначава се с P (A).

Ако P (A) = 1, тогава вероятността от възникване на събитие A е 100%, а ако е нула, няма шанс тя да се случи. Пробното пространство е съвкупността от всички възможни резултати, които могат да бъдат получени чрез провеждане на случаен експеримент.

Има поне четири типа или понятия за вероятност, в зависимост от случая: класическа вероятност, честотистическа вероятност, субективна вероятност и аксиоматична вероятност. Всеки от тях се фокусира върху различни случаи.

Класическата вероятност обхваща случая, в който пространството на извадката има ограничен брой елементи.

В този случай вероятността от възникване на събитие А ще бъде броят на наличните алтернативи за получаване на желания резултат (тоест броят на елементите в набор А), разделен на броя на елементите в извадковото пространство.

Тук трябва да се има предвид, че всички елементи на извадковото пространство трябва да са еднакво вероятни (например като даденост, която не е променена, при която вероятността за получаване на което и да е от шестте числа е една и съща).

Например, каква е вероятността преобръщане на матрица да получи нечетно число? В този случай множеството A ще се състои от всички нечетни числа между 1 и 6, а пространството на извадката ще бъде съставено от всички числа от 1 до 6. Така че, A има 3 елемента, а пространството на извадката има 6. Така че Следователно P (A) = 3/6 = 1/2.

Какъв е принципът на добавките?

Както беше посочено по-рано, вероятността измерва колко често се случва определено събитие. Като част от възможността да се определи тази честота е важно да се знае по колко начина може да се проведе това събитие. Принципът на добавката ни позволява да направим това изчисление в конкретен случай.

Принципът на добавката установява следното: Ако A е събитие, което има "a" начини за изпълнение, и B е друго събитие, което има "b" начини за изпълнение, и ако в допълнение могат да се появят само A или B, а не и двете едновременно същото време, тогава начините за реализиране на A или B (A deB) са a + b.

По принцип това е заявено за обединението на краен брой множества (по-голямо или равно на 2).

Примери

Първи пример

Ако книжарница продава книги за литература, биология, медицина, архитектура и химия, от които има 15 различни вида книги по литература, 25 по биология, 12 по медицина, 8 по архитектура и 10 по химия, колко възможности има човек да избере книга за архитектура или книга по биология?

Принципът на добавката ни казва, че броят на опциите или начините да направите този избор е 8 + 25 = 33.

Този принцип може да се приложи и в случай, че става въпрос за едно събитие, което от своя страна има различни алтернативи, които трябва да бъдат проведени.

Да предположим, че искате да извършите определена дейност или събитие A и че има няколко алтернативи за нея, кажете n.

От своя страна, първата алтернатива има ₁ начин да се направи, втората алтернатива има ₂ начина да се направи и така нататък, алтернативно число n може да се направи по _n начина.

Принципът на добавката гласи, че събитие А може да се извърши по ₁ + до ₂ +… + по _n начина.

Втори пример

Да предположим, че човек иска да купи чифт обувки. Когато пристига в магазина за обувки, той намира само два различни модела с размера на обувката му.

Има два налични цвята на единия и пет налични цвята на другия. Колко пъти трябва този човек да направи тази покупка? По принципа на добавката отговорът е 2 + 5 = 7.

Принципът на добавката трябва да се използва, когато искате да изчислите начина за изпълнение на едно или друго събитие, а не и двете едновременно.

За да се изчислят различните начини за провеждане на събитие заедно ("и") с друго - тоест, че и двете събития трябва да се случват едновременно - се използва мултипликативният принцип.

Принципът на добавката също може да се тълкува като вероятност, както следва: вероятността да се случи събитие А или събитие В, което се обозначава с P (A∪B), като се знае, че A не може да възникне едновременно с B, се дава от P (A∪B) = P (A) + P (B).

Трети пример

Каква е вероятността да получите 5, когато търкаляте матрица или глави, когато хвърляте монета?

Както се вижда по-горе, като цяло вероятността да получите произволно число при валянето на матрица е 1/6.

По-специално вероятността да получите 5 също е 1/6. По същия начин вероятността да получите глави при хвърляне на монета е 1/2. Следователно отговорът на предишния въпрос е P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Препратки

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Определяне на сцената за класическата вероятност и нейните приложения. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Въведение в теорията на вероятността. Национал на Колумбия.
3. Daston, L. (1995). Класическа вероятност в Просвещението. Princeton University Press.
4. Хопкинс, Б. (2009). Ресурси за преподаване на дискретна математика: проекти за класни стаи, модули за история и статии.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Дискретна математика. Pearson Education.
6. Larson, HJ (1978). Въведение в теорията на вероятностите и статистическите изводи. Редакторска лимуза.
7. Lutfiyya, LA (2012). Краен и дискретен математически проблем. Редактори на Асоциацията за научни изследвания и образование
8. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Вероятност и математическа статистика: приложения в клиничната практика и управление на здравето. Издания на Díaz de Santos.
9. Padró, FC (2001). Дискретна математика. Politèc. на Каталуния.
10. Steiner, E. (2005). Математика за приложни науки. Реверте.