ПРИНЦИП НА АРХИМЕД: ФОРМУЛА, ДОКАЗАТЕЛСТВО, ПРИЛОЖЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

Принципът на Архимед гласи, че едно тяло, потопено изцяло или частично, получава вертикална нагоре сила, наречена тяга, която е еквивалентна на теглото на обема на течността, изместена от тялото.

Някои обекти плуват във вода, други потъват, а някои частично потапят. За да потънете плажна топка е необходимо да се положите усилия, защото веднага се възприема тази сила, която се опитва да я върне на повърхността. Вместо това метална сфера потъва бързо.

Фигура 1. Плаващи балони: Принцип на Архимед в действие. Източник: Pixabay

От друга страна, потопените предмети изглеждат по-леки, следователно има сила, упражнена от течността, която се противопоставя на теглото. Но не винаги може да компенсира изцяло гравитацията. И въпреки че това е по-очевидно с водата, газовете също са способни да произвеждат тази сила върху потопените в тях предмети.

история

Архимед от Сиракуза (287-212 пр.н.е.) е този, който трябва да е открил този принцип, като е бил един от най-големите учени в историята. Казват, че Сиракузски цар Йеро II поръчал на златар да направи нова корона за него, за което му дал определено количество злато.

Архимед

Когато кралят получи новата корона, това беше правилната тежест, но подозираше, че златарят го е измамил, като е добавил сребро вместо злато. Как можеше да го докаже, без да унищожи короната?

Йеро се обади на Архимед, чиято репутация на учен беше добре известна, за да му помогне да реши проблема. Легендата гласи, че Архимед бил потопен във ваната, когато намерил отговора и такава била неговата емоция, че той се затичал гол из улиците на Сиракуза, за да потърси краля, викайки "еврика", което означава "намерих го".

Какво откри Архимед? Е, когато се къпете, нивото на водата във ваната се повиши, когато той влезе, което означава, че потопеното тяло измества определен обем течност.

И ако той потопи короната във вода, това също трябваше да измести определен обем вода, ако короната е от злато и различна, ако е направена от сплав със сребро.

формула

Повдигащата сила, посочена от принципа на Архимед, е известна като хидростатична тяга или плаваща сила и, както казахме, е еквивалентна на теглото на обема на течността, изместена от тялото при потапяне.

Преместеният обем е равен на обема на потопения обект, изцяло или частично. Тъй като теглото на всичко е mg, а масата на течността е плътност x обем, обозначаваща величината на тягата като B, математически имаме:

B = m _флуид xg = плътност на течността x Потопен обем x гравитация

B = ρ _{течност} x V _{потопен} xg

Където гръцката буква ρ („rho“) означава плътност.

Явно тегло

Теглото на обектите се изчислява с помощта на познатия израз mg, но нещата се чувстват по-леки, когато се потопят във вода.

Видимото тегло на един предмет е това, което има, когато той е потопен във вода или друга течност и знаейки това, може да се получи обемът на неправилен предмет, като короната на цар Йеро, както ще се види по-долу.

За да направите това, той е изцяло потопен във вода и прикрепен към низ, прикрепен към динамометър - инструмент, снабден с пружина, използвана за измерване на силите. Колкото по-голяма е теглото на предмета, толкова по-голямо е удължението на пружината, което се измерва по скалата, предоставена в апарата.

Фигура 2. Очевидно тегло на потопения предмет. Източник: подготвен от Ф. Сапата.

Прилагане на втория закон на Нютон, знаейки, че обектът е в покой:

ΣF _y = B + T - W = 0

Привидното тегло W _a е равно на напрежението в низа Т:

Тъй като тягата компенсира теглото, тъй като течната част е в покой, тогава:

От този израз следва, че тягата се дължи на разликата в налягането между горната страна на цилиндъра и долната страна. Тъй като W = mg = ρ течност. V. g, тя трябва:

Което е точно израза за тягата, споменат в предишния раздел.

Приложения

Принципът на Архимед се появява в много практически приложения, сред които можем да посочим:

- Аеростатичният балон. Която поради средната си плътност по-малка от тази на околния въздух, плува в нея поради силата на тягата.

- Корабите. Корпусът на корабите е по-тежък от водния. Но ако се вземе предвид целият корпус плюс въздухът вътре, съотношението на общата маса към обема е по-малко от това на водата и това е причината корабите да плават.

- Спасителни жилетки. Създадени от леки и порести материали, те са в състояние да плават, тъй като съотношението маса и обем е по-ниско от това на водата.

- Поплавъкът за затваряне на крана за пълнене на резервоар за вода. Това е сфера, пълна с въздух с голям обем, която плава отгоре на водата, което причинява натискащата сила - умножена по лостовия ефект - да затвори капачката на крана за пълнене на резервоар за вода, когато достигне нивото. обща сума.

Примери

Пример 1

Легендата гласи, че цар Йеро е дал на златаря определено количество злато, за да направи корона, но недоверчивият монарх смятал, че златарят може да е изневерил, като е поставил в корона метал, по-малко ценен от златото. Но как би могъл да знае, без да разруши короната?

Царят поверил проблема на Архимед и това, търсейки решението, открил известния му принцип.

Да предположим, че короната тежи 2,10 kg-f във въздуха и 1,95 kg-f, когато е напълно потопена във вода. В този случай има ли или няма измама?

Фигура 5. Диаграма на свободното тяло на короната на цар Херон. Източник: подготвен от Ф. Сапата

Диаграмата на силите е показана на фигурата по-горе. Тези сили са: теглото P на короната, тягата E и напрежението T на въжето, висящо от скалата.

Известно е, че P = 2,10 kg-f и T = 1,95 kg-f, остава да се определи величината на тягата E:

От друга страна, според принципа на Архимед, тягата Е е еквивалентна на теглото на водата, изместена от пространството, заето от короната, тоест плътността на водата, кратна на обема на короната поради ускорението на гравитацията:

Откъде може да се изчисли обемът на короната:

Плътността на короната е коефициентът между масата на короната от водата и нейния обем:

Плътността на чистото злато може да бъде определена по подобна процедура и резултатът е 19300 kg / m ^ 3.

Сравнявайки двете плътности е видно, че короната не е чисто злато!

Пример 2

Въз основа на данните и резултата от пример 1 е възможно да се определи колко злато е откраднато от златотърсача в случай, че част от златото е заменено със сребро, което има плътност 10 500 kg / m ^ 3.

Ще наречем плътността на короната ρc, ρo плътността на златото и ρ _p - плътността на среброто.

Общата маса на короната е:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Общият обем на короната е обемът на среброто плюс обемът на златото:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Заместването в уравнението за масата е:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Тоест, обемът на златото Vo, което съдържа короната на общия обем V, е:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0.00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0.00005966 m ^ 3

За да намерим теглото в златото, което съдържа короната, умножаваме Vo по плътността на златото:

Mo = 19300 * 0.00005966 = 1.1514 кг

Тъй като масата на короната е 2,10 кг, знаем, че 0,94858 кг злато е откраднато от златотърсача и е заменено със сребро.

Решени упражнения

Упражнение 1

Огромен балий с хелий е в състояние да държи човек в равновесие (без да се качва нагоре или надолу).

Да приемем, че теглото на човека, плюс кошницата, въжетата и балона е 70 кг. Какъв е обемът на хелия, необходим за това? Колко голям трябва да бъде балонът?

Решение

Ще приемем, че тягата се произвежда главно от обема на хелия и че тягата на останалите компоненти е много малка в сравнение с тази на хелий, който заема много по-голям обем.

В този случай ще е необходим обем хелий, способен да осигури тяга 70 кг + теглото на хелия.

Фигура 6. Диаграма на свободно тяло на балона, изпълнен с хелий. Източник: подготвен от Ф. Сапата.

Тягата е произведение на обема на хелия, по-голям от плътността на хелия и ускорението на гравитацията. Това натискане трябва да компенсира теглото на хелия плюс теглото на всички останали.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

от което се заключава, че V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Тоест, 65,4 m ^ 3 хелий се изисква при атмосферно налягане, за да има вдигане.

Ако приемем сферично кълбо, можем да намерим неговия радиус от връзката между обема и радиуса на една сфера:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

От където R = 2,49 m. С други думи, той ще изисква балон с диаметър 5 м, напълнен с хелий.

Упражнение 2

В него плуват материали с по-ниска плътност от водата. Да предположим, че имате полистирол (бял корк), дърво и ледени кубчета. Плътността им в кг на кубичен метър е съответно: 20, 450 и 915.

Намерете каква част от общия обем е извън водата и колко висока е над повърхността на водата, вземайки 1000 килограма на кубичен метър като плътността на последната.

Решение

Плавателността възниква, когато теглото на тялото се равнява на тягата поради водата:

E = M⋅g

Фигура 7. Диаграма на свободно тяло на частично потопен обект. Източник: подготвен от Ф. Сапата.

Теглото е плътността на тялото Dc, умножена по обема му V и от ускорението на гравитацията g.

Тягата е теглото на течността, изместена по принципа на Архимед и се изчислява чрез умножение на плътността D на водата по потопения обем V 'и чрез ускорението на гравитацията.

Това е:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Което означава, че потопената обемна фракция е равна на коефициента между плътността на тялото и плътността на водата.

Тоест, изключителната обемна фракция (V '' / V) е

Ако h е височината на надвес, а L е страната на куба, обемната част може да бъде записана като

Така че резултатите за поръчаните материали са:

Полистирол (бял корк):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% извън водата

Дърво:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% от водата

лед:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% извън водата

Препратки

1. Bauer, W. 2011. Физика за инженерство и науки. Том 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Механика на течностите. Основи и приложения. Първо издание. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 4. Течности и термодинамика. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Механика на флуидите и хидравликата. McGraw Hill.
5. Рекс, А. 2011. Основи на физиката. Пиърсън. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Физика: концепции и приложения. 7-мо издание. McGraw Hill.