МУЛТИПЛИКАТИВЕН ПРИНЦИП: ТЕХНИКИ ЗА БРОЕНЕ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В мултипликативна принцип е техника, използвана за решаване на проблемите преброяване да се намери решение, без да се налага да се изброят неговите елементи. Известен е и като основен принцип на комбинаторния анализ; тя се основава на последователно умножение, за да се определи как може да се случи събитие.

Този принцип гласи, че ако решение (d ₁) може да бъде взето по n начина и друго решение (d ₂) може да бъде взето по m начини, общият брой начини, по които могат да бъдат взети решения d ₁ и d ₂, ще бъде равен да се умножава от n _* m. Според принципа всяко решение се взема един след друг: брой начини = N _{1 *} N ₂… _* N _x начини.

Примери

Пример 1

Паула планира да отиде на кино с приятелите си и за да избера дрехите, които ще носи, отделям 3 блузи и 2 поли. По колко начина може да се облича Паула?

Решение

В този случай Паула трябва да вземе две решения:

d ₁ = Изберете между 3 блузи = n

d ₂ = Изберете между 2 поли = m

По този начин Paula има n _* m решения да взема или различни начини на обличане.

n _* m = 3 _* 2 = 6 решения.

Мултипликативният принцип се ражда от техниката на дървесната диаграма, която е диаграма, която свързва всички възможни резултати, така че всеки от тях може да възникне краен брой пъти.

Пример 2

Марио беше много жаден, затова отиде в пекарната да си купи сок. Луис се грижи за него и му казва, че се предлага в два размера: голям и малък; и четири аромата: ябълка, портокал, лимон и грозде. По колко начина Марио може да избере сока?

Решение

На диаграмата се вижда, че Марио има 8 различни начина да избере сока и че, както в мултипликативния принцип, този резултат се получава чрез умножаване на n _* m. Единствената разлика е, че чрез тази диаграма можете да видите какви са начините, по които Марио избира сока.

От друга страна, когато броят на възможните резултати е много голям, е по-практично да се използва мултипликативният принцип.

Техники за броене

Техниките за броене са методи, използвани за пряко преброяване и по този начин се знае броят на възможните подредби, които могат да имат елементите на даден набор. Тези техники се основават на няколко принципа:

Принцип на добавяне

Този принцип гласи, че ако две събития m и n не могат да се случат едновременно, броят на начините, по които може да се случи първото или второто събитие, ще бъде сумата от m + n:

Брой форми = m + n… + x различни форми.

пример

Антонио иска да предприеме пътуване, но не решава до коя дестинация; в Южната туристическа агенция ви предлагат промоция за пътуване до Ню Йорк или Лас Вегас, докато източната туристическа агенция препоръчва пътуване до Франция, Италия или Испания. Колко различни алтернативи за пътуване ви предлага Антонио?

Решение

С Агенцията за южен туризъм Антонио има 2 алтернативи (Ню Йорк или Лас Вегас), докато с Източната агенция за туризъм той има 3 варианта (Франция, Италия или Испания). Броят на различните алтернативи е:

Брой алтернативи = m + n = 2 + 3 = 5 алтернативи.

Принцип на пермутация

Става дума за конкретно подреждане на всички или някои от елементите, съставляващи набор, за да се улесни преброяването на всички възможни договорености, които могат да бъдат направени с елементите.

Броят на пермутациите на n различни елемента, взети наведнъж, е представен като:

_n P _n = n!

пример

Четирима приятели искат да направят снимка и искат да знаят колко различни начина могат да бъдат подредени.

Решение

Искате да знаете набора от всички възможни начини, по които 4-те души могат да бъдат позиционирани, за да направят снимката. По този начин, трябва да:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 различни форми.

Ако броят на престановките на n налични елемента се взема от части от набор, съставен от r елементи, той се представя като:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

пример

В класна стая има 10 места. Ако 4 ученика посещават класа, по колко различни начина студентите могат да запълнят позициите?

Решение

Имаме предвид, че общият брой на комплекта столове е 10, като от тях ще бъдат използвани само 4. Дадената формула се прилага за определяне на броя на престановките:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 начина за запълване на позициите.

Има случаи, в които някои от наличните елементи на набор се повтарят (те са еднакви). За да се изчисли броят на масивите, приемащи всички елементи едновременно, се използва следната формула:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

пример

Колко различни думи с четири букви могат да се образуват от думата „вълк“?

Решение

В този случай има 4 елемента (букви), от които две от тях са абсолютно еднакви. Прилагайки дадената формула, се знае колко различни думи водят до:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 различни думи.

Принцип на комбиниране

Става въпрос за подреждането на всички или на някои от елементите, съставляващи набор без конкретна поръчка. Например, ако имате XYZ подредба, тя ще бъде идентична с ZXY, YZX, ZYX подредбите, между другото; това е така, защото, въпреки че не са в един и същ ред, елементите на всяка подредба са еднакви.

Когато някои елементи (r) са взети от множеството (n), принципът на комбинация се дава по следната формула:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

пример

В магазин те продават 5 различни вида шоколад. Колко различни начина могат да бъдат избрани 4 шоколада?

Решение

В този случай трябва да бъдат избрани 4 шоколада от 5-те вида, които се продават в магазина. Редът, в който са избрани, няма значение и в допълнение един вид шоколад може да бъде избран повече от два пъти. Прилагайки формулата, трябва да:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 различни начина да изберете 4 шоколадови бонбона.

Когато всички елементи (r) от множеството (n) са взети, принципът на комбинация се дава по следната формула:

_n C _{n =} n!

Решени упражнения

Упражнение 1

Има бейзболен отбор с 14 членове. По колко начина могат да бъдат определени 5 позиции за игра?

Решение

Комплектът е съставен от 14 елемента и искате да зададете 5 конкретни позиции; т. е. редът има значение. Формулата за пермутация се прилага, когато n налични елементи са взети от части от набор, който се образува от r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Където n = 14 и r = 5. Той се замества във формулата:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 начина да зададете 9-те позиции на играта.

Упражнение 2

Ако семейство от 9 деца тръгне на екскурзия и си купи билетите с последователни места, по колко различни начина могат да седнат?

Решение

Става въпрос за 9 елемента, които ще заемат последователно 9 места.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 различни начина на седене.

Препратки

1. Хопкинс, Б. (2009). Ресурси за преподаване на дискретна математика: проекти за класни стаи, модули за история и статии.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Дискретна математика. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Краен и дискретен математически проблем. Редактори на Асоциацията за научни изследвания и образование
4. Padró, FC (2001). Дискретна математика. Politèc. на Каталуния.
5. Steiner, E. (2005). Математика за приложни науки. Реверте.