ПОЛИТРОПЕН ПРОЦЕС: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

А политропно процес е термодинамичен процес, който настъпва, когато връзката между налягане Р и обем V дава от PV ^п се поддържа постоянна. Показателят n е реално число, обикновено между нула и безкрайност, но в някои случаи може да бъде отрицателно.

Стойността на n се нарича индекс на политропията и е важно да се отбележи, че по време на политропния термодинамичен процес посоченият индекс трябва да поддържа фиксирана стойност, в противен случай процесът няма да се счита за политропен.

Фигура 1. Характерно уравнение на политропния термодинамичен процес. Източник: Ф. Сапата.

Характеристики на политропните процеси

Някои характерни случаи на политропни процеси са:

- Изотермичният процес (при постоянна температура Т), при който експонентът е n = 1.

- Изобарен процес (при постоянно налягане P), в този случай n = 0.

- Изохорният процес (при постоянен обем V), за който n = + ∞.

- Адиабатни процеси (при постоянна S ентропия), при които експонентът е n = γ, където γ е адиабатната константа. Тази константа е коефициентът между топлинния капацитет при постоянно налягане Cp, разделен на топлинния капацитет при постоянен обем Cv:

γ = Cp / Cv

- Всеки друг термодинамичен процес, който не е един от предишните случаи. но това, което отговаря на PV ⁿ = ctte с реален и постоянен политропен индекс n, също ще бъде политропен процес.

Фигура 2. Различни характерни случаи на политропни термодинамични процеси. Източник: Wikimedia Commons.

Приложения

Едно от основните приложения на политропното уравнение е да се изчисли работата, извършена от затворена термодинамична система, когато тя преминава от първоначално състояние в крайно състояние по квазистатичен начин, тоест след последователност на състояния на равновесие.

Работа върху политропни процеси за различни стойности на n

За n ≠ 1

Механичната работа W, извършена от затворена термодинамична система, се изчислява чрез израза:

W = ∫P.dV

Където P е налягане и V е обем.

Както в случая на политропния процес, връзката между налягане и обем е:

Имаме механичната работа, извършена по време на политропния процес, който започва в първоначално състояние 1 и завършва в крайно състояние 2. Всичко това се появява в следния израз:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Заменяйки стойността на константата в работния израз, получаваме:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

В случай, че работното вещество може да бъде моделирано като идеален газ, имаме следното уравнение на състояние:

PV = mRT

Където m е броят молове на идеалния газ, а R е универсалната газова константа.

За идеален газ, който следва политропно процес с индекс polytropy различни един от единство и който преминава от състояние с начална температура T ₁ до друга държава с температура Т ₂, извършена се дава със следната формула работата:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

За n → ∞

Според формулата за работата, получена в предишния раздел, имаме, че работата на политропния процес с n = ∞ е нулева, тъй като изразът на работата е разделен на безкрайност и следователно резултатът има тенденция към нула, Друг начин за постигане на този резултат е да се започне от съотношението P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, което може да бъде пренаписано, както следва:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Взимайки n-ти корен във всеки член, получаваме:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

В случай, че n → ∞, имаме (V ₂ / V1) = 1, което означава, че:

V ₂ = V ₁

Тоест, обемът не се променя при политропен процес с n → ∞. Следователно, диференциалният обем dV в интеграла на механичната работа е 0. Този тип политропни процеси са известни също като изохорни процеси или процеси с постоянен обем.

За n = 1

Отново имаме израза изразът за работа:

W = ∫P dV

В случай на политропен процес с n = 1, връзката между налягане и обем е:

PV = константа = C

Решавайки P от предишния израз и замествайки, ние свършихме работата, за да преминем от първоначално състояние 1 до крайно състояние 2:

Това означава:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Тъй като началните и крайните състояния са добре определени, така ще бъде и ctte. Това означава:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

И накрая, имаме следните полезни изрази, за да намерим механичната работа на затворена политропна система, в която n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Ако работното вещество се състои от m моли идеален газ, тогава може да се приложи уравнението на идеалния газ: PV = mRT

В този случай, тъй като PV ₁ = ctte, имаме, че политропният процес с n = 1 е процес при постоянна температура Т (изотермичен), така че да се получат следните изрази за работата:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Фигура 3. Топеща се ик, пример за изотермичен процес. Източник: Pixabay

Примери за политропни процеси

- Пример 1

Да предположим цилиндър с подвижно бутало, напълнен с един килограм въздух. Първоначално въздухът заема обем V ₁ = 0,2 m ³ при налягане P ₁ = 400 kPa. Следва политропен процес с n = γ = 1,4, чието крайно състояние има налягане P ₂ = 100 kPa. Определете работата, извършена от въздуха върху буталото.

Решение

Когато индексът на политропия се равнява на адиабатната константа, протича процес, при който работното вещество (въздух) не обменя топлина с околната среда и следователно ентропията също не се променя.

За въздух, диатомичен идеален газ, имаме:

γ = Cp / Cv, с Cp = (7/2) R и Cv = (5/2) R

Така:

γ = 7/5 = 1.4

С помощта на израза на политропния процес може да се определи крайният обем на въздуха:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Сега имаме условията да приложим формулата на работата, извършена в политропния процес за n ≠ 1, получена по-горе:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Заместването на съответните стойности имаме:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Пример 2

Да приемем същия цилиндър от Пример 1, с подвижно бутало, напълнено с един килограм въздух. Първоначално въздухът заема обем V1 = 0,2 m ³ при налягане P1 = 400 kPa. Но за разлика от предишния случай, въздухът се разширява изотермично, за да достигне крайно налягане P2 = 100 kPa. Определете работата, извършена от въздуха върху буталото.

Решение

Както вече видяхме, изотермичните процеси са политропни процеси с индекс n = 1, така че е вярно, че:

P1 V1 = P2 V2

По този начин крайният обем може лесно да се отдели, за да се получи:

V2 = 0,8 m ³

След това, използвайки работния израз, получен по-рано за случая n = 1, имаме, че работата, извършена от въздуха върху буталото в този процес, е:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0.2 m ³ ln (0.8 / 0.2) = 110.9 kJ.

Препратки

1. Bauer, W. 2011. Физика за инженерство и науки. Том 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Термодинамика. 7-мо издание. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 4. Течности и термодинамика. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB).
4. Лопес, В. Първият закон на термодинамиката. Възстановено от: culturacientifica.com.
5. Найт, Р. 2017. Физиката за учените и инженерството: стратегически подход. Пиърсън.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Основи на физиката. 9-то издание.
7. Университет в Севиля. Термични машини. Възстановено от: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Политропен процес. Възстановено от: wikiwand.com.