КРЪСТОВ ПРОДУКТ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В напречно продукт или вектор продукт е начин за умножаване два или повече вектори. Има три начина за умножаване на вектори, но нито един от тях не е умножение в обичайния смисъл на думата. Една от тези форми е известна като векторен продукт, което води до трети вектор.

Кръстосаният продукт, който също се нарича кръстосан продукт или външен продукт, има различни алгебрични и геометрични свойства. Тези свойства са много полезни, особено по отношение на изучаването на физиката.

дефиниция

Официалното определение на векторния продукт е следното: ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3) са вектори, тогава векторният продукт на A и B, който ще обозначим като AxB, е:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Поради нотацията AxB, тя се чете като "кръст B".

Пример за това как да използваме външния продукт е, че ако A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4) са вектори, тогава използвайки определението на векторен продукт, имаме:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Друг начин за изразяване на векторния продукт се дава от обозначаването на детерминантите.

Изчисляването на определящия втори ред се дава от:

Следователно формулата за кръстосания продукт, дадена в определението, може да бъде пренаписана, както следва:

Това обикновено се опростява в детерминанта от трети ред, както следва:

Когато I, J, K представлява векторите, които формират основата на R ³.

Използвайки този начин на изразяване на кръстосания продукт, имаме, че предишният пример може да бъде пренаписан като:

Имоти

Някои свойства, които векторният продукт притежава са следните:

Имот 1

Ако A е някакъв вектор в R ³, имаме:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Тези свойства са лесни за проверка, като се използва само определението. Ако A = (a1, a2, a3) имаме:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ако i, j, k представляват единичната база на R ³, можем да ги запишем по следния начин:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

И така, ние имаме, че следните свойства са верни:

Като мнемонично правило често се използва следният кръг за запомняне на тези свойства:

Там трябва да отбележим, че всеки вектор със себе си дава вектор 0 в резултат, а останалите продукти могат да бъдат получени със следното правило:

Кръстосаният продукт на два последователни вектора по посока на часовниковата стрелка дава следващия вектор; и когато се вземе предвид посоката, обратна на часовниковата стрелка, резултатът е следният вектор с отрицателен знак.

Благодарение на тези свойства можем да видим, че векторният продукт не е комутативен; например, само отбележете, че ixj ≠ jx i. Следното свойство ни казва как AxB и BxA са свързани като цяло.

Имот 2

Ако A и B са вектори на R ³, имаме:

AxB = - (BxA).

демонстрация

Ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), по дефиниция на външен продукт имаме:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Можем също да видим, че този продукт не е асоциативен със следния пример:

ix (ixj) = ixk = - j, но (ixi) xj = 0xj = 0

От това можем да видим, че:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Имот 3

Ако A, B, C са вектори на R ³ и r е реално число, е вярно следното:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Благодарение на тези свойства можем да изчислим векторния продукт, използвайки законите на алгебрата, при условие че се спазва редът. Например:

Ако A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4), можем да ги пренапишем по отношение на каноничната основа на R ³.

Така A = i + 2j + 3k и B = 3i - 2j + 4k. След това, като приложите предишните свойства:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Имот 4 (продукт с три точки)

Както споменахме в началото, има и други начини за размножаване на вектори, освен векторния продукт. Един от тези начини е скаларният продукт или вътрешен продукт, който се обозначава като A ∙ B и чието определение е:

Ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), тогава A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Свойството, което свързва двата продукта, е известно като тройния скаларен продукт.

Ако А, В и С са вектори на R ³, тогава ∙ BxC = AxB ∙ С

Като пример, нека видим, че като се има предвид A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), това свойство е удовлетворено.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

От друга страна:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Друг троен продукт е Ax (BxC), който е известен като продукт на тройния вектор.

Имот 5 (троен вектор продукт)

Ако А, В и С са вектори на R ³, тогава:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Като пример, нека видим, че като се има предвид A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), това свойство е удовлетворено.

От предишния пример знаем, че BxC = (- 18, - 22, 17). Нека изчислим Ax (BxC):

Оста (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

От друга страна, трябва да:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

По този начин, ние трябва да:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Имот 6

Това е едно от геометричните свойства на векторите. Ако A и B са два вектора в R ³ и ϴ е ъгълът, образуван между тях, тогава:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), където - ∙ - обозначава модула или величината на вектор.

Геометричната интерпретация на това свойство е следната:

Нека A = PR и B = PQ. Значи ъгълът, образуван от вектори А и В, е ъгълът P на триъгълник RQP, както е показано на следващата фигура.

Следователно, площта на паралелограма, която има PR и PQ като съседни страни, е - A ---- B - sin (ϴ), тъй като можем да вземем -A-- за основа, а височината му е дадена от --B - грях (ϴ).

Следователно можем да заключим, че - AxB-- е областта на споменатия паралелограм.

пример

Като се имат предвид следните върхове на четириъгълник P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) и S (5,7, -3), показват, че споменатият четириъгълник е паралелограм и намерете неговата площ.

За това първо определяме векторите, които определят посоката на страните на четириъгълника. Това е:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Както можем да видим, A и C имат един и същ директен вектор, за който имаме, че и двете са успоредни; същото се случва с B и D. Следователно заключаваме, че PQRS е паралелограм.

За да имаме площта на този паралелограм, изчисляваме BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Следователно площта на квадрат ще бъде:

- BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Може да се заключи, че областта на паралелограма ще бъде корен с квадрат от 89.

Имот 7

Два вектора A и B са успоредни в R ^3, ако и само ако AxB = 0

демонстрация

Ясно е, че ако A или B са нулевият вектор, е изпълнено, че AxB = 0. Тъй като нулевият вектор е успореден на всеки друг вектор, тогава свойството е валидно.

Ако нито един от двата вектора не е нулев вектор, имаме, че техните величини са различни от нула; тоест и двете - A-- ≠ 0 и - B-- ≠ 0, така че ще имаме - AxB-- = 0, ако и само ако sin (ϴ) = 0, и това се случва, ако и само ако ϴ = π или ϴ = 0.

Следователно можем да заключим AxB = 0, ако и само ако ϴ = π или ϴ = 0, което се случва само когато и двата вектора са успоредни един на друг.

Имот 8

Ако A и B са два вектора в R ³, тогава AxB е перпендикулярна на A и B.

демонстрация

За това доказателство нека си припомним, че два вектора са перпендикулярни, ако A ∙ B е равен на нула. Освен това знаем, че:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, но AxA е равна на 0. Следователно имаме:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

По този начин можем да заключим, че A и AxB са перпендикулярни един на друг. Аналогично, ние трябва да:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Тъй като BxB = 0, имаме:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Следователно AxB и B са перпендикулярни един на друг и с това свойството се демонстрира. Това е много полезно за нас, тъй като те ни позволяват да определим уравнението на равнина.

Пример 1

Получете уравнение на равнината, която преминава през точките P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) и R (2, 1, 3).

Нека A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) и B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Тогава A = - i + 3j + k и B = i - 2j + k. За да намерите равнината, образувана от тези три точки, е достатъчно да намерите вектор, който е нормален за равнината, който е AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

С този вектор и като вземем точката P (1, 3, 2), можем да определим уравнението на равнината, както следва:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Така имаме, че уравнението на равнината е 5x + 2y - z - 9 = 0.

Пример 2

Намерете уравнението на равнината, което съдържа точката P (4, 0, - 2) и която е перпендикулярна на всяка от равнините x - y + z = 0 и 2x + y - 4z - 5 = 0.

Знаейки, че нормален вектор към равнина ax + от + cz + d = 0 е (a, b, c), имаме, че (1, -1,1) е нормален вектор на x - y + z = 0 y (2,1, - 4) е нормален вектор от 2x + y - 4z - 5 = 0.

Следователно нормален вектор към търсената равнина трябва да е перпендикулярен на (1, -1,1) и към (2, 1, - 4). Този вектор е:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Тогава имаме, че търсената равнина е тази, която съдържа точката Р (4,0, - 2) и има вектора (3,6,3) като нормален вектор.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Приложения

Изчисляване на обема на паралелепипед

Приложение, което има тройния скаларен продукт, трябва да може да изчисли обема на паралелепипед, чиито ръбове са дадени от векторите A, B и C, както е показано на фигурата:

Можем да изведем това приложение по следния начин: както казахме преди, векторът AxB е вектор, който е нормален за равнината на A и B. Имаме също така, че вектор - (AxB) е друг вектор, нормален за споменатата равнина.

Избираме нормалния вектор, който образува най-малкия ъгъл с вектор С; Без загуба на общ характер, AxB е векторът, чийто ъгъл със C е най-малък.

Имаме, че и AxB и C имат еднаква отправна точка. Освен това знаем, че площта на паралелограма, която образува основата на паралелепипеда, е - AxB--. Следователно, ако височината на паралелепипеда е дадена от h, имаме, че неговият обем ще бъде:

V = --AxB - h.

От друга страна, нека разгледаме точков продукт между AxB и C, който може да бъде описан по следния начин:

Въпреки това, чрез тригонометрични свойства имаме, че h = -C - cos (ϴ), така че имаме:

По този начин ние имаме това:

Най-общо имаме, че обемът на паралелепипед се дава от абсолютната стойност на тройния скаларен продукт AxB ∙ C.

Решени упражнения

Упражнение 1

Като се имат предвид точките P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) и S = ​​(2, 6, 9), тези точки образуват паралелепипед, чиито ръбове те са PQ, PR и PS. Определете обема на споменатия паралелепипед.

Решение

Ако вземем:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Използвайки свойството на тройния скаларен продукт, ние имаме:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Следователно имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е 52.

Упражнение 2

Определете обема на паралелепипед, чиито ръбове са дадени с A = PQ, B = PR и C = PS, където точките P, Q, R и S са (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) и (2, 2, 5), съответно.

Решение

Първо имаме, че A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Изчисляваме AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Тогава изчисляваме AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Така заключаваме, че обемът на споменатия паралелепипед е 1 кубична единица.

Препратки

1. Leithold, L. (1992). Изчислението с аналитична геометрия. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Физика том 1. Мексико: континентален.
3. Saenz, J. (nd). Изчисляване на вектора 1ed. Хипотенуза.
4. Spiegel, MR (2011). Векториален анализ 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Изчисляване на няколко променливи 4ed. Mc Graw Hill.