- Забележителни продукти и примери
- Биномиален квадрат
- Продукт от конюгирани биноми
- Продукт от два бинома с общ термин
- Многочлен в квадрат
- Биномиални кубчета
- Куб на тричлен
- Решени упражнения на забележителни продукти
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2
- Решение
- Препратки
Най- забележителните продукти са алгебрични операции, в които се изразяват умножаване на полиноми, които не трябва да бъдат решени по традиция, но с помощта на определени правила могат да бъдат намерени на резултатите от едни и същи.
Полиномите се умножават с да, следователно е възможно те да имат голям брой термини и променливи. За да се направи процесът по-кратък, се използват забележимите правила за продуктите, които позволяват умножение, без да се налага да се определят термин по срок.
Забележителни продукти и примери
Всеки забележим продукт е формула, която се получава от факторизация, съставена от полиноми от няколко термина, като биноми или триноми, наречени фактори.
Факторите са основата на силата и имат показател. Когато факторите се умножат, показателите трябва да бъдат добавени.
Има няколко забележителни формули на продукти, някои са по-използвани от други, в зависимост от полиномите, и те са следните:
Биномиален квадрат
Това е умножение на биномиал от себе си, изразено като мощност, където термините се добавят или изваждат:
да се. Квадратна сума биномиална: тя е равна на квадрата на първия член, плюс два пъти произведението на термините, плюс квадрата на втория член. Тя се изразява по следния начин:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
На следващата фигура можете да видите как се развива продуктът по гореспоменатото правило. Резултатът се нарича тричлен на перфектен квадрат.
Пример 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Пример 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2.
б. Биномиал на изваждане на квадрат: важи същото правило на биномиума на една сума, само че в този случай вторият член е отрицателен. Формулата му е следната:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
Пример 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Продукт от конюгирани биноми
Два бинома са конюгирани, когато вторият член на всеки има различни знаци, тоест първият е положителен, а вторият отрицателен или обратното. Той се решава чрез подреждане на всеки едночлен и изваждане. Формулата му е следната:
(a + b) * (a - b)
На следващата фигура е разработен произведението на два конюгирани бинома, където се наблюдава, че резултатът е разлика на квадрати.
Пример 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2.
Продукт от два бинома с общ термин
Той е един от най-сложните и рядко използвани забележителни продукти, тъй като е умножение на два биноми, които имат общ термин. Правилото гласи следното:
- Квадратът на общото понятие.
- Плюс сумата на термините, които не са общи и след това ги умножете по общия термин.
- Плюс сумата от умножението на термините, които не са често срещани.
Той е представен във формулата: (x + a) * (x + b) и се развива, както е показано на изображението. Резултатът е несъвършен квадратен тричлен.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Има възможност вторият термин (различният термин) да е отрицателен и неговата формула е следната: (x + a) * (x - b).
Пример 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Също така може да се случи, че и двете различни термина са отрицателни. Формулата му ще бъде: (x - a) * (x - b).
Пример 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Многочлен в квадрат
В този случай има повече от два термина и за да го развием, всеки от тях се поставя в квадрат и се добавя заедно с двойно умножение на един термин с друг; неговата формула е: (a + b + c) 2, а резултатът от операцията е триномен квадрат.
Пример 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4Z) 2 = 9х 2 + 4Y 2 + 16Z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Биномиални кубчета
Това е забележително сложен продукт. За да го развиете, двучленът се умножава по неговия квадрат, както следва:
да се. За двучленния куб на сума:
- Кубът на първия член, плюс утрояване на квадрата на първия член, кратък на втория.
- Плюс тройката на първия мандат, пъти на втория квадрат.
- Плюс кубчето на втория мандат.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3.
Пример 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
б. За двучленния куб на изваждане:
- Кубът на първия член, минус три пъти по-висок от квадрата на първия член, в сравнение с втория.
- Плюс тройката на първия мандат, пъти на втория квадрат.
- Минус кубчето на втория мандат.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3.
Пример 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Куб на тричлен
Развива се, като го умножава по квадрата му. Това е много обширен забележителен продукт, тъй като имате 3 кубчета, плюс три пъти всеки квадрат, умножен по всеки от термините, плюс шест пъти произведението на трите термина. По-добър начин:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Пример 1
Решени упражнения на забележителни продукти
Упражнение 1
Разгънете следните биномиални кубчета: (4x - 6) 3.
Решение
Спомняйки си, че биномиален кубик е равен на първия член на куб, минус три пъти по-голям от квадрата на първия член, кратък на втория; плюс тройката на първия член, пъти на втория квадрат, минус куба на втория член.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Упражнение 2
Разработете следния двучлен: (x + 3) (x + 8).
Решение
Има биномиал, където има общ термин, който е х, а вторият термин е положителен. За да го развиете, трябва само да квадратят общия термин, плюс сумата от термините, които не са общи (3 и 8) и след това да ги умножите по общия термин, плюс сумата от умножението на термините, които не са общи.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Препратки
- Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Обединеното кралство: Ratna Sagar.
- Джером Е. Кауфман, KL (2011). Елементарна и междинна алгебра: комбиниран подход. Флорида: Cengage Learning.
- Перес, CD (2010). Pearson Education.