АСОЦИАТИВНО СВОЙСТВО: СЪБИРАНЕ, УМНОЖЕНИЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В асоциативност на допълнение представлява асоциативен характер на операцията по добавяне на различни математически комплекти. В него три (или повече) елемента от споменатите множества са свързани, наречени a, b и c, така че винаги да е вярно:

a + (b + c) = (a + b) + c

По този начин се гарантира, че независимо от начина на групиране за извършване на операцията, резултатът е един и същ.

Фигура 1. Използваме асоциативното свойство на добавяне много пъти, когато правим аритметични и алгебрични операции. (Рисунка: freepik Състав: F. Zapata)

Но трябва да се отбележи, че асоциативната собственост не е синоним на комутативното свойство. Тоест знаем, че редът на добавките не променя сумата или че редът на факторите не променя продукта. Така че за сумата може да се пише така: a + b = b + a.

В асоциативното свойство обаче е различно, тъй като се поддържа редът на елементите, които трябва да се добавят и какви промени е операцията, която се изпълнява първо. Което означава, че добавянето на първо (b + c) и добавяне на a към този резултат няма значение от това да започнете да добавяте a с by към резултата, добавяйки c.

Много важни операции като добавяне са асоциативни, но не всички. Например при изваждането на реални числа се случва, че:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ако a = 2, b = 3, c = 1, тогава:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Асоциативно свойство на умножение

Както беше направено за допълнение, асоциативното свойство на умножение гласи, че:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

В случая с множеството реални числа е лесно да се провери дали това винаги е така. Например, използвайки стойностите a = 2, b = 3, c = 1, имаме:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Реалните числа изпълняват асоциативното свойство както на събиране, така и на умножение. От друга страна, в друга група, като тази на векторите, сумата е асоциативна, но кръстосаният продукт или векторният продукт не е.

Приложения на асоциативното свойство на умножение

Предимство на операциите, при които асоциативното свойство е изпълнено, е да може да се групира по най-удобния начин. Това прави разделителната способност много по-лесна.

Да предположим например, че в малка библиотека има 3 рафта с по 5 рафта всеки. Във всеки рафт има 8 книги. Колко книги има изобщо?

Можем да извършим операцията така: общо книги = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 книги.

Или така: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 книги.

Фигура 2. Едно приложение на асоциативното свойство на умножение е да се изчисли броят на книгите на всеки рафт. Изображение създадено от Ф. Сапата.

Примери

-В множествата от естествени, цели числа, рационални, реални и сложни числа се изпълнява асоциативното свойство на събиране и умножение.

Фигура 3. За реални числа е изпълнено асоциативното свойство на събиране. Източник: Wikimedia Commons.

-За полиноми те се прилагат и в тези операции.

-В случаите на операции на изваждане, разделяне и експониране, асоциативното свойство не е валидно за реални числа или полиноми.

-В случая на матрици асоциативното свойство има за добавяне и умножение, въпреки че в последния случай комутативността не е изпълнена. Това означава, че като се имат предвид матриците A, B и C, е вярно, че:

(A x B) x C = A x (B x C)

Но… A x B ≠ B x A

Асоциативното свойство във вектори

Векторите образуват различен набор от реалните числа или сложните числа. Операциите, определени за набора от вектори, са малко по-различни: има събиране, изваждане и три вида продукти.

Сумата от вектори отговаря на асоциативното свойство, както правят числата, полиномите и матриците. Що се отнася до скаларните продукти, скаларни по вектор и кръст, които са направени между векторите, последният не го изпълнява, но скаларният продукт, който е друг вид операция между векторите, го изпълнява, като взема предвид следното:

-Продуктът на скалар и вектор води до вектор.

-А при скаларно умножаване на два вектора се получава скаларен резултат.

Следователно, като се имат предвид векторите v, u и w и допълнително скалар λ, е възможно да се напише:

- Сума от вектори: v + (u + w) = (v + u) + w

-Скален продукт: λ (v • u) = (λ v) • u

Последното е възможно благодарение на факта, че v • u е скалар, а λ v е вектор.

Въпреки това:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Факторизация на полиноми чрез групиране на термини

Това приложение е много интересно, тъй като както беше казано преди, асоциативното свойство помага за решаване на определени проблеми. Сумата от мономерите е асоциативна и това може да се използва за факторинг, когато очевиден общ фактор не се появи на пръв поглед.

Например, да предположим, че сте помолени да коментирате: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Този полином няма общ фактор, но нека да видим какво ще стане, ако е групиран така:

Първата скоба има общ фактор на ос ²:

Във втория общият фактор е 3:

Упражнения

- Упражнение 1

Училищна сграда е на 4 етажа и във всяка има 12 класни стаи с 30 бюра вътре. Колко бюра има общо училището?

Решение

Този проблем се решава чрез прилагане на асоциативното свойство на умножение, нека да видим:

Общ брой бюра = 4 етажа x 12 класни стаи / етаж x 30 бюра / класна стая = (4 x 12) x 30 бюра = 48 x 30 = 1440 бюра.

Или ако предпочитате: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 бюра

- Упражнение 2

Като се имат предвид полиномите:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Приложете асоциативното свойство на допълнение, за да намерите A (x) + B (x) + C (x).

Решение

Можете да групирате първите две и да добавите третата към резултата:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Веднага се добавя полином С (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Читателят може да провери дали резултатът е идентичен, ако е решен чрез опция A (x) +.

Препратки

1. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
2. Математиката е забавна. Комутативни, асоциативни и дистрибуторски закони. Възстановена от: mathisfun.com.
3. Склад за математика. Определение на асоциативна собственост. Възстановени от: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Асоциативно и коммутативно свойство на добавяне и умножение (с примери). Възстановено от: sciaching.com.
5. Wikipedia. Асоциативна собственост. Възстановено от: en.wikipedia.org.