ЗАКЛЮЧВАНЕ НА СВОЙСТВОТО НА АЛГЕБРАТА: ДОКАЗАТЕЛСТВО, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В имота заключване на алгебра е явление, което се отнася два елемента от комплект с операция, когато е необходимо условие е, че след 2 елементи се обработват под споменатата операция, резултатът също принадлежи към първоначалния набор.

Например, ако вземем четните числа като набор, а сумата като операция, получаваме заключване на този набор по отношение на сумата. Това е така, защото сумата от 2 четни числа винаги ще даде друго четно число, като по този начин изпълнява условието за заключване.

Източник: unsplash.com

характеристики

Има много свойства, които определят алгебраичните пространства или тела, като структури или пръстени. Въпреки това, свойството за заключване е едно от най-известните в основната алгебра.

Не всички приложения на тези свойства се базират на числови елементи или явления. Много ежедневни примери могат да се работят от чисто алгебрично-теоретичен подход.

Пример могат да бъдат гражданите на дадена държава, които поемат правни отношения от всякакъв вид, като например търговско партньорство или брак между други. След извършване на тази операция или управление те остават граждани на страната. По този начин операциите за гражданство и управление по отношение на двама граждани представляват блокировка.

Числова алгебра

По отношение на числата има много аспекти, които са били обект на изучаване в различни течения на математиката и алгебрата. От тези изследвания се появиха голям брой аксиоми и теореми, които служат за теоретична основа за съвременни изследвания и работа.

Ако работим с числовите набори, можем да установим друго валидно определение за свойството за заключване. За набор A се казва заключването на друг набор B, ако A е най-малкият набор, който съдържа всички множества и операции, които съдържа B.

демонстрация

Доказателството за заключване се прилага за елементи и операции, присъстващи в множеството реални числа R.

Нека A и B са две числа, които принадлежат на множеството R, затварянето на тези елементи се определя за всяка операция, съдържаща се в R.

сума

- Сума: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Това е алгебричният начин да кажем, че За всички A и B, които принадлежат на реалните числа, имаме, че сборът на A плюс B е равен на C, който също принадлежи на реалните.

Лесно е да се провери дали това предложение е вярно; достатъчно е да се извърши сумата между всяко реално число и да се провери дали резултатът също принадлежи на реалните числа.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Забелязва се, че условието за заключване е изпълнено за реалните числа и сумата. По този начин може да се заключи: Сумата от реални числа е алгебрична ключалка.

умножение

- Умножение: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

За всички A и B, които принадлежат на истините, имаме, че умножението на A по B е равно на C, което също принадлежи на реалните.

При проверка със същите елементи от предишния пример се наблюдават следните резултати.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Това е достатъчно доказателство, за да се заключи, че: Умножението на реални числа е алгебрично заключване.

Това определение може да бъде разширено до всички операции с реални числа, въпреки че ще открием определени изключения.

Източник: pixabay.com

Специални случаи в R

делене

Първият специален случай е разделянето, където се вижда следното изключение:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

За всички A и B, които принадлежат на R, имаме, че A сред B не принадлежи на истините, ако и само ако B е равно на нула.

Този случай се отнася до ограничаването на невъзможността да се раздели на нула. Тъй като нулата принадлежи на реалните числа, тогава следва, че: разделението не е заключване на истините.

регистриране

Съществуват и операции за потенцииране, по-специално тези за радикализация, където са представени изключения за радикални сили с равномерен индекс:

За всички A, които принадлежат към истините, n-тият корен на A принадлежи към истините, ако и само ако A принадлежи към положителните реалности, присъединени към набор, чийто единствен елемент е нула.

По този начин се обозначава, че равномерните корени се прилагат само за положителни реали и се стига до заключението, че потенцията не е заключване в R.

логаритъм

По хомоложен начин може да се види за логаритмичната функция, която не е дефинирана за стойности, по-малки или равни на нула. За да проверите дали логаритъмът е заключване на R, продължете както следва:

За всички A, които принадлежат към истините, логаритъмът на A принадлежи към истините, ако и само ако A принадлежи към положителните истини.

Чрез изключване на отрицателни стойности и нула, които също принадлежат на R, може да се заяви, че:

Логаритъмът не е заключване на реалните числа.

Примери

Проверете ключалката за събиране и изваждане на естествените числа:

Сума в N

Първото нещо е да се провери състоянието на заключване за различни елементи от дадения набор, където ако се наблюдава, че някой елемент се скъса със условието, съществуването на заключване може да бъде автоматично отказано.

Това свойство е вярно за всички възможни стойности на A и B, както се вижда от следните операции:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Няма естествени стойности, които нарушават състоянието на заключване, така че се заключава:

Сумата е заключване в N.

Изваждане в N

Търсят се естествени елементи, способни да нарушат състоянието; A - B принадлежи на местните жители.

Работата с него е лесно да намерите двойки естествени елементи, които не отговарят на условието за заключване. Например:

7 - 10 = -3 ∉ a N

По този начин можем да заключим, че:

Изваждането не е заключване на множеството естествени числа.

Предложени упражнения

1-Покажете дали свойството за заключване е изпълнено за множеството рационални числа Q, за операциите, добавяне, изваждане, умножение и деление.

2-Обяснете, ако множеството от реални числа е заключване на множеството от цели числа.

3-Определете кой цифров набор може да бъде заключването на реалните числа.

4-Докажете свойството на ключалката за множеството имагинерни числа, отнасящи се за събиране, изваждане, умножение и деление.

Препратки

1. Панорама на чистата математика: изборът на Бурбакист. Жан Диудоне. Реверте, 1987г.
2. Теория на алгебраичните числа Алехандро Дж. Диас Барига, Ана Ирен Рамирес, Франсиско Томас. Национален автономен университет в Мексико, 1975 г.
3. Линейна алгебра и нейните приложения. Сандра Ибет Очоа Гарсия, Едуардо Гутиерес Гонсалес.
4. Алгебраични структури V: теория на тялото. Хектор А. Мерклен. Организация на американските щати, Генерален секретариат, 1979г.
5. Въведение в комутативната алгебра. Майкъл Франсис Атия, IG MacDonald. Реверте, 1973г.