СВОЙСТВА НА РАВЕНСТВОТО - МАТЕМАТИКА - 2024

На свойствата на равенство се отнасят до връзката между две математически обекти, независимо дали те са числа или променливи. Тя се обозначава със символа "=", който винаги минава между тези два обекта. Този израз се използва за установяване, че два математически обекта представляват един и същ обект; с друга дума, че два обекта са едно и също нещо.

Има случаи, когато е тривиално да се използва равенството. Например, ясно е, че 2 = 2. Когато става въпрос за променливи обаче, той вече не е тривиален и има специфични приложения. Например, ако имаме това y = x, а от друга страна x = 7, можем да заключим, че y = 7.

Примерът по-горе се основава на едно от свойствата на равенството, както ще видите скоро. Тези свойства са от съществено значение за решаването на уравнения (равенства, включващи променливи), които представляват много важна част от математиката.

Какви са свойствата на равенството?

Отразяващо свойство

Рефлексивното свойство, в случай на равенство, заявява, че всяко число е равно на себе си и се изразява като b = b за всяко реално число b.

В конкретния случай на равенство това свойство изглежда очевидно, но в други видове отношения между числата не е така. С други думи, не всяка връзка с реални числа отговаря на това свойство. Например такъв случай на връзката „по-малко от“ (<); нито едно число не е по-малко от себе си.

Симетрично свойство

Симетричното свойство за равенство казва, че ако a = b, тогава b = a. Без значение какъв ред се използва в променливите, той ще бъде запазен от отношението за равенство.

Известна аналогия на това свойство с комутативното свойство може да се наблюдава в случай на добавяне. Например, поради това свойство е еквивалентно да се пише y = 4 или 4 = y.

Преходна собственост

Преходното свойство на равенството гласи, че ако a = b и b = c, тогава a = c. Например 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; следователно, чрез преходното свойство имаме, че 2 + 7 = 6 + 3.

Едно просто приложение е следното: да предположим, че Джулиан е на 14 години и че Марио е на същата възраст като Роза. Ако Роза е на същата възраст като Юлиан, на колко години е Марио?

Зад този сценарий преходното свойство се използва два пъти. Математически това се тълкува по следния начин: нека "а" е епохата на Марио, "б" епохата на Роза и "в" епохата на Джулиан. Известно е, че b = c и че c = 14.

По преходното свойство имаме, че b = 14; тоест Роза е на 14 години. Тъй като a = b и b = 14, използвайки отново преходното свойство, имаме, че a = 14; тоест възрастта на Марио също е на 14 години.

Еднообразна собственост

Единното свойство е, че ако и двете страни на равенството се добавят или умножат по една и съща сума, равенството се запазва. Например, ако 2 = 2, тогава 2 + 3 = 2 + 3, което е ясно, тъй като 5 = 5. Това свойство е най-полезно, когато се опитвате да решите уравнение.

Например, да предположим, че трябва да решите уравнението x-2 = 1. Удобно е да запомните, че решаването на уравнение се състои в изричното определяне на включената променлива (или променливи) въз основа на конкретно число или предварително посочена променлива.

Връщайки се към уравнението x-2 = 1, това, което трябва да направите, е да намерите изрично колко струва x. За целта променливата трябва да бъде изчистена.

Погрешно е научено, че в този случай, тъй като числото 2 е отрицателно, преминава към другата страна на равенството с положителен знак. Но не е коректно да се казва така.

По принцип това, което правите, е да прилагате униформеното свойство, както ще видим по-долу. Идеята е да изчистите "х"; тоест, оставете го сам от едната страна на уравнението. По конвенция обикновено се оставя от лявата страна.

За целта числото за „премахване“ е -2. Начинът да го направите би бил чрез добавяне на 2, тъй като -2 + 2 = 0 и x + 0 = 0. За да направите това, без да променяте равенството, трябва да се приложи същата операция и от другата страна.

Това му позволява да реализира унифицираното свойство: тъй като x-2 = 1, ако числото 2 се добави от двете страни на равенството, униформеното свойство казва, че то не е променено. Тогава имаме това x-2 + 2 = 1 + 2, което е еквивалентно на това, че x = 3. С това уравнението ще бъде решено.

По същия начин, ако искате да разрешите уравнението (1/5) y-1 = 9, можете да продължите, като използвате унифицираното свойство, както следва:

По-общо могат да се направят следните твърдения:

- Ако ab = cb, тогава a = c.

- Ако xb = y, тогава x = y + b.

- Ако (1 / a) z = b, тогава z = a ×

- Ако (1 / c) a = (1 / c) b, тогава a = b.

Свойство за анулиране

Свойството за анулиране е особен случай на унифицираното свойство, по-специално като се има предвид случаят на изваждане и деление (които по принцип също съответстват на събиране и умножение). Този имот разглежда този случай отделно.

Например, ако 7 + 2 = 9, тогава 7 = 9-2. Или ако 2y = 6, тогава y = 3 (разделяне на две от двете страни).

Аналогично на предишния случай, следните свойства могат да бъдат установени чрез свойството за анулиране:

- Ако a + b = c + b, тогава a = c.

- Ако x + b = y, тогава x = yb.

- Ако az = b, тогава z = b / a.

- Ако ca = cb, тогава a = b.

Замяна на собственост

Ако знаем стойността на математически обект, свойството на заместване заявява, че тази стойност може да бъде заместена във всяко уравнение или израз. Например, ако b = 5 и a = bx, тогава замествайки стойността на "b" във второто равенство, имаме, че a = 5x.

Друг пример е следният: ако „m“ дели „n“ и също „n“ дели „m“, тогава трябва да имаме това m = n.

Всъщност, да се каже, че "m" дели "n" (или еквивалентно, че "m" е делител на "n") означава, че делението m ÷ n е точно; тоест, разделянето на "m" на "n" води до цяло число, а не до десетична. Това може да се изрази като кажем, че съществува цяло число "k" такова, че m = k × n.

Тъй като "n" също дели "m", тогава съществува цяло число "p" такова, че n = p × m. Поради свойството на заместване имаме това n = p × k × n и за да се случи това, има две възможности: n = 0, в този случай бихме имали идентичност 0 = 0; op × k = 1, следователно идентичността n = n.

Да предположим, че „n“ е ненулева. Тогава задължително p × k = 1; следователно, p = 1 и k = 1. Използвайки отново свойството за заместване, замествайки k = 1 в равенството m = k × n (или еквивалентно, p = 1 в n = p × m), накрая получаваме това m = n, което искахме да докажем.

Мощна собственост в равенство

Както по-рано беше видяно, че ако операция като събиране, умножение, изваждане или деление се извършва и в двете условия на равенство, тя се запазва, по същия начин могат да се прилагат и други операции, които не променят равенството.

Ключът е винаги да го изпълнявате от двете страни на равенството и да се уверите предварително, че операцията може да бъде извършена. Такъв е случаят с овластяване; тоест, ако и двете страни на уравнението са издигнати до една и съща сила, все пак имаме равенство.

Например, тъй като 3 = 3, така че 3 ² = 3 ² (9 = 9). Като цяло, като се има цяло число "n", ако x = y, тогава x ⁿ = y ⁿ.

Root свойство в равенство

Това е конкретен случай на овластяване и се прилага, когато силата е нецело число рационално число, като ½, което представлява квадратния корен. Това свойство гласи, че ако се приложи един и същ корен от двете страни на равенството (когато е възможно), равенството се запазва.

За разлика от предишния случай тук трябва да се внимава с четността на корена, който ще се приложи, тъй като е добре известно, че четният корен на отрицателно число не е добре дефиниран.

В случай, че радикалът е равномерен, няма проблем. Например, ако x ³ = -8, въпреки че е равенство, не можете да приложите квадратен корен от двете страни, например. Ако обаче можете да приложите корен на куба (което е още по-удобно, ако искате изрично да знаете стойността на x), като по този начин ще получите това x = -2.

Препратки

1. Aylwin, CU (2011). Логика, набори и числа. Mérida - Венецуела: Съвет за публикации, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
3. Лира, ML (1994). Симон и математика: текст по математика за втори клас: учебна книга. Андрес Бело.
4. Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
5. Сеговия, БР (2012). Математически занимания и игри с Мигел и Лусия. Балдомеро Рубио Сеговия.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-ри курс по математика. Редакционен прогресо.