СЪСТАВНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ: ОБЯСНЕНИЕ, КОМБИНИРАНО ПРАВИЛО ОТ ТРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В композитен или множествена пропорционалността е съотношението на повече от две величини, която може да се наблюдава директно и обратна пропорционалност между данните и неизвестното. Това е по-усъвършенствана версия на проста пропорционалност, въпреки че техниките, използвани в двете процедури, са сходни.

Например, ако са необходими 7 души, за да се разтоварят 10 тона стоки за 3 часа, комбинираната пропорционалност може да се използва, за да се изчисли колко хора ще са необходими, за да се разтоварят 15 тона за 4 часа.

Източник: pixabay.com

За да отговорите на този въпрос, е удобно да направите таблица със стойности, за да проучите и да съпоставите величините и неизвестностите.

Пристъпваме към анализ на видовете връзки между всяка величина и настоящата неизвестност, която за този случай съответства на броя на хората, които ще работят.

С увеличаването на теглото на стоките, нараства и броят на хората, необходими за разтоварването му. Поради това връзката между теглото и работниците е пряка.

От друга страна, с увеличаването на броя на работниците, работното време намалява. Поради това връзката между хората и работното време е от обратния тип.

Как се изчислява съставните пропорции

За решаване на примери като този по-горе се използва най-вече сложното правило от три метода. Това се състои в установяване на видовете връзки между количества и неизвестни и след това представяне на продукт между дроби.

По отношение на първоначалния пример дробите, съответстващи на таблицата със стойности, се организират, както следва:

Но преди да се реши и разреши неизвестното, дробите, съответстващи на обратната връзка, трябва да бъдат обърнати. Кои за този случай съответстват на променливото време. По този начин операцията за решаване ще бъде:

Чия единствена разлика е инверсията на фракцията, съответстваща на времевата променлива 4/3. Пристъпваме към работа и изчистваме стойността на x.

По този начин са необходими повече от единадесет души, за да могат да разтоварят 15 тона стоки за 4 часа или по-малко.

обяснение

Пропорционалност е постоянната връзка между количествата, които подлежат на промяна, която ще бъде симетрична за всяко от участващите количества. Съществуват пряко и обратно пропорционални отношения, като по този начин се определят параметрите на проста или сложна пропорционалност.

Пряко правило от трима

Състои се от пропорционална връзка между променливи, които показват едно и също поведение, когато са модифицирани. Той е много често при изчисляването на проценти, отнасящи се до величини, различни от сто, където се оценява неговата основна структура.

Като пример може да се изчисли 15% от 63. На пръв поглед този процент не може да бъде оценен лесно. Но прилагайки правилото на три, може да се направи следната връзка: ако 100% е 63, то 15%, колко ще бъде?

100% ---- 63

15% ---– X

И съответната операция е:

(15%. 63) / 100% = 9.45

Когато процентните знаци са опростени и се получава цифрата 9.45, което представлява 15% от 63.

Обратно правило на три

Както показва името му, в този случай връзката между променливите е обратна. Обратната връзка трябва да се установи, преди да се пристъпи към изчисляването. Процедурата му е хомологична на тази на прякото правило на три, с изключение на инвестицията във фракцията, която се изчислява.

Например 3-ма художници се нуждаят от 5 часа, за да завършат стена. За колко часа 4 художници ще го завършат?

В този случай връзката е обратна, тъй като с увеличаването на броя на художниците работното време трябва да намалява. Връзката се установява;

3 художници - 5 часа

4 художници - X часа

Докато връзката е обърната, редът на работа се обръща. Това е правилният начин;

(3 художници). (5 часа) / 4 художници = 3,75 часа

Терминът художници е опростен и резултатът е 3,75 часа.

състояние

За да има присъствие на съединение или множествена пропорционалност, е необходимо да се намерят и двата типа връзки между величините и променливите.

- Директен: Променливата има същото поведение като неизвестната. Тоест, когато единият се увеличава или намалява, другият се променя еднакво.

- Обратна: Променливата има антонимно поведение спрямо това на неизвестното. Фракцията, която определя споменатата променлива в таблицата със стойности, трябва да бъде обърната, за да представи обратно пропорционалната връзка между променлива и неизвестна.

Проверка на резултатите

Много често се бърка редът на количествата при работа със сложни пропорционалности, за разлика от това, което се случва при обичайните изчисления на пропорциите, чиято природа е най-вече директна и разрешима чрез обикновено правило от три.

Поради тази причина е важно да се проучи логичният ред на резултатите, като се провери съгласуваността на фигурите, получени от сложното правило от три.

В първоначалния пример допускането на такава грешка би довело до 20 като резултат. Тоест 20 души да разтоварят 15 тона стоки за 4 часа.

На пръв поглед това не изглежда като луд резултат, но е любопитно увеличение с почти 200% на персонала (от 7 на 20 души), когато увеличението на стоките е 50% и дори с по-голям запас от време за извършване работата.

По този начин логическата проверка на резултатите представлява важна стъпка в прилагането на сложното правило от три.

луфт

Макар и по-основен по отношение на математическото обучение, клирънсът представлява важна стъпка в случаите на пропорционалност. Грешен клирънс е достатъчен, за да обезсили всеки резултат, получен в простото или сложно правило от три.

история

Правилото на трима стана известно на Запад чрез арабите, с публикации от различни автори. Сред тях Ал-Джуризми и Ал-Бируни.

Ал-Бируни, благодарение на своите мултикултурни познания, имаше достъп до огромна информация относно тази практика по време на пътуванията си в Индия, като беше отговорен за най-обширната документация за правилото на три.

Той заявява в своите изследвания, че Индия е била първото място, където използването на правилото за трима става често. Писателят уверява, че тя е осъществена по течен начин в своите преки, обратни и дори съставени версии.

Точната дата, когато правилото за трима стана част от математическите знания на Индия, все още не е известно. Въпреки това, най-старият документ, посветен на тази практика, ръкописът Бахшали, е открит през 1881 г. В момента той е в Оксфорд.

Много историци на математиката твърдят, че този ръкопис датира от началото на настоящата ера.

Решени упражнения

Упражнение 1

Авиокомпания трябва да превозва 1535 души. Известно е, че с 3 самолета ще са необходими 12 дни, за да стигне последния пътник до дестинацията. Още 450 души са пристигнали на авиокомпанията и са поръчани 2 самолета да бъдат ремонтирани, за да помогнат в тази задача. Колко дни ще отнеме на авиокомпанията, за да прехвърли всеки последен пътник до тяхната дестинация?

Връзката между броя на хората и работните дни е пряка, тъй като колкото по-голям е броят на хората, толкова повече дни ще са необходими за извършване на тази работа.

От друга страна, връзката между самолетите и дните е обратно пропорционална. С увеличаването на броя на самолетите, дните, необходими за превоз на всички пътници, намаляват.

Направена е таблицата със стойности, отнасяща се до този случай.

Както е подробно описано в първоначалния пример, числителят и знаменателят трябва да бъдат обърнати във фракцията, съответстваща на обратната променлива по отношение на неизвестното. Операцията е следната:

X = 71460/7675 = 9,31 дни

За да прехвърлите 1985 души, използващи 5 самолета, са необходими повече от 9 дни.

Упражнение 2

25-тонна реколта от царевица се отвежда към товарните камиони. Известно е, че предишната година им отне 8 часа с заплата от 150 работници. Ако за тази година заплатата се увеличи с 35%, колко време ще им отнеме, за да напълнят товарните камиони с 40-тонна реколта?

Преди да представите таблицата на стойностите, трябва да се определи броят на работниците за тази година. Това нараства с 35% от първоначалната цифра от 150 работници. За това се използва пряко правило от три.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Това е броят на допълнителните работници спрямо предходната година, получавайки общ брой работници 203, след закръгляване на получената сума.

Пристъпваме към дефиниране на съответната таблица с данни

За този случай теглото представлява променлива, пряко свързана с неизвестното време. От друга страна променливата на работниците има обратна връзка с времето. Колкото по-голям е броят на работниците, толкова по-кратък е работният ден.

Имайки предвид тези съображения и обръщайки фракцията, съответстваща на променливата работници, пристъпваме към изчисляване.

X = 40600/6000 = 6,76 часа

Пътуването ще отнеме малко под 7 часа.

Предложени упражнения

- Определете 73% от 2875.

- Изчислете броя часове, в които Тереза ​​спи, ако се знае, че тя спи само 7% от общата сума за деня. Определете колко часа спите седмично.

- Вестник издава 2000 екземпляра на всеки 5 часа, използвайки само 2 печатни машини. Колко копия ще произведе за 1 час, ако използва 7 машини? Колко време ще отнеме производството на 10 000 копия с помощта на 4 машини?

Препратки

1. Енциклопедия Алварес-посвещение. А. Алварес, Антонио Алварес Перес. EDAF, 2001 г.
2. Пълно ръководство за начални и висши начални инструкции: за използване на амбициозни учители и особено ученици от нормалните училища на провинцията, том 1. Joaquín Avendaño. Печат на Д. Дионисио Идалго, 1844г.
3. Рационално сближаване на реални функции. П. П. Петрушев, Васил Атанасов Попов. Cambridge University Press, 3 март. 2011 година.
4. Елементарна аритметика за преподаване в училища и колежи в Централна Америка. Дарио Гонсалес. Бакшиш. Ареналес, 1926г.
5. Изучаването на математиката: относно изучаването и трудностите на математиката. Август Де Морган. Болдуин и Крадок, 1830г.