КОПЛАНАРНИ ТОЧКИ: УРАВНЕНИЕ, ПРИМЕР И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Всички копланарни точки принадлежат на една и съща равнина. Две точки са винаги копланарни, тъй като тези точки определят линия, през която преминават безкрайните равнини. Тогава и двете точки принадлежат на всяка от равнините, които минават през линията и следователно, те винаги ще бъдат копланарни.

От друга страна, три точки определят една равнина, от което следва, че три точки винаги ще бъдат копланарни спрямо равнината, която те определят.

Фигура 1. A, B, C и D са копланарни спрямо (Ω) равнината. E, F и G не са копланарни до (Ω), но са копланарни спрямо равнината, която те определят. Източник: Ф. Сапата.

Повече от три точки могат да бъдат копланарни или не. Например на фигура 1 точки A, B, C и D са копланарни спрямо равнината (Ω). Но E, F и G не са копланарни на (Ω), въпреки че са копланарни на равнината, която те определят.

Уравнение на равнина, дадена на три точки

Уравнението на равнина, определено от три известни точки A, B, C, е математическо отношение, което гарантира, че всяка точка P с общи координати (x, y, z), която изпълнява уравнението, принадлежи на споменатата равнина.

Предишното твърдение е еквивалентно на това, че ако P на координати (x, y, z) изпълнява уравнението на равнината, тогава споменатата точка ще бъде копланарна с трите точки A, B, C, които определят равнината.

За да намерим уравнението на тази равнина, нека започнем с намирането на векторите AB и AC:

AB =

AC =

Векторният продукт AB X AC води до вектор, перпендикулярен или нормален спрямо равнината, определен от точки A, B, C.

Всяка точка P с координати (x, y, z) принадлежи на равнината, ако векторът AP е перпендикулярен на вектора AB X AC, което е гарантирано, ако:

AP • (AB X AC) = 0

Това е еквивалентно на казаното, че тройният продукт на AP, AB и AC е нула. Горното уравнение може да се запише в матрична форма:

пример

Нека точките A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); С (7, 2, 1) и D (a, 0, 1). Каква стойност трябва да има, за да бъдат четирите точки копланарни?

Решение

За да намери стойността на a, точка D трябва да бъде част от равнината, определена от A, B и C, която е гарантирана, ако удовлетворява уравнението на равнината.

Разработване на детерминанта имаме:

Предишното уравнение ни казва, че a = -1 за равенството, което трябва да бъде изпълнено. С други думи, единственият начин, по който точка D (a, 0,1) е копланарна с точки A, B и C, е a да е -1. В противен случай няма да е копланарен.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Една равнина пресича декартови оси X, Y, Z съответно на 1, 2 и 3. Пресичането на тази равнина с осите определя точки A, B и C. Намерете компонента Dz на точка D, чиито декартови компоненти са:

При условие, че D е копланарен с точки A, B и C.

Решение

Когато са известни пресечения на равнина с декартови оси, може да се използва сегментната форма на уравнението на равнината:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Тъй като точка D трябва да принадлежи на предишната равнина, тя трябва да:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Това означава:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

От горното следва, че точка D (3, -2, -3) е копланарна с точки A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) и С (0, 0, 3).

- Упражнение 2

Определете дали точките A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); С (2, 4, 2) и D (2, 3, 1) са копланарни.

Решение

Формираме матрицата, чиито редове са координатите на DA, BA и CA. Тогава се изчислява определящият и се проверява дали е или не.

След извършване на всички изчисления се заключава, че те са копланарни.

- Упражнение 3

В пространството има две линии. Една от тях е линията (R), чието параметрично уравнение е:

А другото е линията (S), чието уравнение е:

Покажете, че (R) и (S) са копланарни линии, тоест те лежат в една и съща равнина.

Решение

Нека започнем с произволно вземане на две точки на линията (R) и две на линията (S):

Линия (R): λ = 0; A (1, 1, 1) и λ = 1; B (3, 0, 1)

Нека x = 0 на линията (S) => y = ½; С (0, ½, -1). И от друга страна, ако направим y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Тоест, взехме точките А и В, които принадлежат на линията (R) и точките C и D, които принадлежат на линията (S). Ако тези точки са копланарни, то и двете линии ще бъдат твърде.

Сега избираме точка А като опорна точка и след това намираме координатите на векторите AB, AC и AD. По този начин получавате:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Следващата стъпка е да се изгради и изчисли детерминантът, чийто първи ред са коефициентите на вектора AB, вторият ред са тези на AC, а третият - тези на вектора AD:

Тъй като определящият се оказва нулев, тогава можем да заключим, че четирите точки са копланарни. Освен това може да се каже, че линиите (R) и (S) също са копланарни.

- Упражнение 4

Линиите (R) и (S) са копланарни, както е показано в упражнение 3. Намерете уравнението на равнината, която ги съдържа.

Решение

Точки A, B, C напълно дефинират тази равнина, но искаме да наложим, че всяка точка X от координати (x, y, z) му принадлежи.

За да принадлежи X на равнината, определена от A, B, C и в която се съдържат линиите (R) и (S), е необходимо детерминантите, образувани в първия си ред от компонентите на AX, във втория ред от тези на AB и в третата от тези на AC:

Следвайки този резултат, ние групираме по този начин:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

И веднага виждате, че може да се пренапише така:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Следователно x + 2y - z = 2 е уравнението на равнината, която съдържа линиите (R) и (S).

Препратки

1. Флеминг, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. 2006. Линейна алгебра. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Плоска аналитична геометрия. Мерида - Венецуела: Редакция Венезолана Калифорния
4. Наваро, Росио. Вектори. Възстановени от: books.google.co.ve.
5. Перес, CD 2006. Предварително изчисление. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Основни понятия на геометрията. Rowman & Littlefield.
7. Съливан, М. 1997. Precalculus. Pearson Education.