В gravicentro е определение, което е много използван в геометрията при работа с триъгълници.
За да се разбере дефиницията на гравитацията, първо е необходимо да се знае дефиницията на „медианите“ на триъгълник.
Медианите на триъгълник са линейните сегменти, които започват във всяка върха и достигат до средната точка на страната, противоположна на тази върха.
Точката на пресичане на трите медиани на триъгълник се нарича барицентър или е известна още като гравицентър.
Не е достатъчно само да знаете определението, интересно е да знаете как се изчислява тази точка.
Изчисляване на центъра на тежестта
Като имаме предвид триъгълник ABC с върхове A = (x1, y1), B = (x2, y2) и C = (x3, y3), имаме гравицентърът да е пресечната точка на трите медиани на триъгълника.
Бърза формула, която позволява изчисляването на центъра на тежестта на триъгълник, известни координатите на неговите върхове, е:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
С тази формула можете да разберете местоположението на гравицентъра в декартовата равнина.
Характеристики на Gravicentro
Не е необходимо да се очертават трите медиани на триъгълника, защото при изчертаване на две от тях ще се вижда къде е гравиентро.
Гравиентрото разделя всяка медиана на 2 части, чието съотношение е 2: 1, тоест двата сегмента на всяка медиана са разделени на сегменти с дължини 2/3 и 1/3 от общата дължина, като по-голямото разстояние е това, което има между върха и центъра на гравитацията.
Следващото изображение по-добре илюстрира това свойство.
Формулата за изчисляване на гравитацията е много проста. Начинът за получаване на тази формула е чрез изчисляване на уравненията на линията, които определят всяка медиана и след това намиране на пресечната точка на тези линии.
Упражнения
Ето кратък списък с проблеми относно изчисляването на центъра на тежестта.
1.- Като се даде триъгълник с върхове A = (0,0), B = (1,0) и C = (1,1), изчислете центъра на тежестта на споменатия триъгълник.
Използвайки дадената формула, може бързо да се заключи, че центърът на тежестта на триъгълник ABC е:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Ако триъгълникът има върхове A = (0,0), B = (1,0) и C = (1 / 2,1), какви са координатите на гравиентро?
Тъй като върховете на триъгълника са известни, ние пристъпваме към прилагането на формулата за изчисляване на центъра на гравитацията. Следователно гравиентрото има координати:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Изчислете възможните гравиентроси за равностранен триъгълник, така че две от неговите върхове да са A = (0,0) и B = (2,0).
В това упражнение посочвате само два върха на триъгълника. За да намерим възможните гравиентроси, първо трябва да изчислим третия връх на триъгълника.
Тъй като триъгълникът е равностранен и разстоянието между A и B е 2, третият връх C трябва да е на разстояние 2 от A и B.
Използвайки факта, че в равностранен триъгълник височината съвпада с медианата, а също и използвайки теоремата на Питагор, може да се заключи, че вариантите за координатите на третия връх са C1 = (1, √3) или C2 = (1, - √3).
Така че координатите на двете възможни гравиентри са:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Благодарение на предишните сметки също може да се отбележи, че медианата е разделена на две части, чието съотношение е 2: 1.
Препратки
- Landaverde, F. d. (1997). Геометрия (препечат. Изд.). Прогрес.
- Leake, D. (2006). Триъгълници (илюстрирано изд.). Хайнеман-Рейнтрий.
- Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрии. CR технология.
- Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.
- Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Pearson Education.