КАКВО ПРЕДСТАВЛЯВАТ КОСИ ТРИЪГЪЛНИЦИ? (С УПРАЖНЕНИЯ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На наклонени триъгълници са тези триъгълници, които не са правоъгълници. С други думи, триъгълниците са такива, че нито един от техните ъгли не е прав ъгъл (мярката им е 90 °).

Тъй като те нямат прави ъгли, тогава Питагоровата теорема не може да се приложи към тези триъгълници.

Следователно, за да се знаят данните в коси триъгълник, е необходимо да се използват други формули.

Формулите, необходими за решаването на наклонен триъгълник, са така наречените закони на синусите и косинусите, които ще бъдат описани по-нататък.

В допълнение към тези закони винаги може да се използва фактът, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е равна на 180º.

Коси триъгълници

Както беше посочено в началото, наклонен триъгълник е триъгълник, такъв, че никой от неговите ъгли не измерва 90 °.

Проблемът с намирането на дължините на страните на наклонен триъгълник, както и намирането на мерките на неговите ъгли, се нарича „решаване на коси триъгълници“.

Важен факт при работа с триъгълници е, че сборът от трите вътрешни ъгъла на триъгълник е равен на 180º. Това е общ резултат, следователно и за косите триъгълници може да се приложи.

Закони на синусите и косинусите

Даден триъгълник ABC със страни на дължини "a", "b" и "c":

- Законът на синусите гласи, че a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), където A, B и C са противоположни ъгли на «a», «b» и «c »съответно.

- Законът на косинусите гласи, че: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Еквивалентно могат да се използват следните формули:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) или a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

С помощта на тези формули могат да се изчислят данните за наклонен триъгълник.

Упражнения

По-долу са някои упражнения, при които трябва да се намерят липсващите данни на дадените триъгълници въз основа на предоставените данни.

Първо упражнение

Като се има предвид триъгълник ABC такъв, че A = 45º, B = 60º и a = 12cm, изчислете останалите данни на триъгълника.

Решение

Използвайки, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е равна на 180º, имаме това

C = 180º-45º-60º = 75º.

Трите ъгъла вече са известни. Законът на синусите се използва за изчисляване на двете липсващи страни.

Уравненията, които възникват, са 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

От първото равенство можем да решим за «b» и да получим това

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Можем също да решим за «c» и да получим това

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392см.

Второ упражнение

Като се има предвид триъгълникът ABC такъв, че A = 60º, C = 75º и b = 10cm, изчислете останалите данни на триъгълника.

Решение

Както при предишното упражнение, B = 180º-60º-75º = 45º. Освен това, използвайки закона на синусите, имаме, че a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), от което се получава, че a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Трето упражнение

Даден триъгълник ABC такъв, че a = 10cm, b = 15cm и C = 80º, изчислете другите данни на триъгълника.

Решение

В това упражнение е известен само един ъгъл, следователно той не може да бъде стартиран както в предишните две упражнения. Също така законът на синусите не може да се приложи, тъй като не може да се реши уравнение.

Следователно, пристъпваме към прилагането на закона на косинусите. Точно тогава е това

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 см, така че c ≈ 16,51 cm. Сега, знаейки трите страни, се използва законът на синусите и се получава това

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

Следователно разрешаването за B води до sin (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, което означава, че B ≈ 63.38º.

Сега можем да получим, че A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Четвърто упражнение

Страните на наклонен триъгълник са a = 5cm, b = 3cm и c = 7cm. Намерете ъглите на триъгълника.

Решение

Отново законът на синусите не може да се прилага директно, тъй като никое уравнение не би послужило за получаване на стойността на ъглите.

Използвайки закона на косинуса, имаме c² = a² + b² - 2ab cos (C), от който при решаването имаме, че cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и следователно C = 120º.

Сега, ако можем да приложим закона на синусите и по този начин да получим 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), откъдето можем да решим за B и да получим този грях (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, така че B = 21,79º.

И накрая, последният ъгъл се изчислява, като се използва, че A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Препратки

1. Landaverde, F. d. (1997). Геометрия (препечат. Изд.). Прогрес.
2. Leake, D. (2006). Триъгълници (илюстрирано изд.). Хайнеман-Рейнтрий.
3. Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрии. CR технология.
5. Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Pearson Education.