КОСИ ЛИНИИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, УРАВНЕНИЯ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В косите линии са тези, които са наклонени или спрямо плоска повърхност или друга линия показва конкретен адрес. Като пример, разгледайте трите линии, начертани в равнина, които се появяват на следващата фигура.

Ние знаем съответните им относителни положения, защото ги сравняваме с референтна линия, която обикновено е оста x, обозначаваща хоризонталата.

Фигура 1. Вертикални, хоризонтални и коси линии в една и съща равнина. Източник: Ф. Сапата.

По този начин, избирайки хоризонталата като еталон, линията вляво е вертикална, тази в центъра е хоризонтална, а тази вдясно е наклонена, тъй като е наклонена спрямо дневните референтни линии.

Сега линиите, които са на една и съща равнина, като повърхността на хартията или екрана, заемат различни позиции една спрямо друга, в зависимост от това дали се пресичат или не. В първия случай те са секционни линии, докато във втория са успоредни.

От друга страна, секантните линии могат да бъдат коси или перпендикулярни линии. И в двата случая наклоните на линиите са различни, но наклонените линии образуват ъгли α и β помежду си, различни от 90º, докато ъглите, определени от перпендикулярните линии, винаги са 90º.

Следващата фигура обобщава тези определения:

Фигура 2. Относителни позиции между линиите: успоредни, коси и перпендикулярни се различават по ъгъла, който образуват една с друга. Източник: Ф. Сапата.

уравнения

За да се знаят относителните позиции на линиите в равнината, е необходимо да се знае ъгълът между тях. Обърнете внимание, че линиите са:

Паралелно: ако имат същия наклон (една и съща посока) и никога не се пресичат, следователно точките им са на еднакво разстояние.

Съвпадения: когато всичките му точки съвпадат и следователно имат еднакъв наклон, но разстоянието между точките му е нула.

Сушилни: ако наклоните им са различни, разстоянието между точките им варира и пресечната точка е една точка.

Така че един от начините да знаете дали две линии в равнината са секантни или успоредни е през техния наклон. Критериите за паралелизъм и перпендикулярност на линиите са следните:

Ако знаем наклоните на две линии в равнината, никой от горните критерии не е изпълнен, заключаваме, че линиите са коси. Познавайки две точки на права, наклонът се изчислява веднага, както ще видим в следващия раздел.

Можете да разберете дали две линии са секантни или успоредни, като намерите тяхното пресичане, решавайки системата от уравнения, които образуват: ако има решение, те са секантни, ако няма решение, те са успоредни, но ако решенията са безкрайни, линиите са съвпадащи.

Този критерий обаче не ни информира за ъгъла между тези линии, дори ако те се пресичат.

За да знаем ъгъла между линиите, се нуждаем от два вектора u и v, които принадлежат на всяка от тях. По този начин е възможно да се знае ъгълът, който образуват с помощта на скаларното произведение на векторите, дефинирани по този начин:

u • v = uvcos α

Уравнение на линията в равнината

Линия в декартовата равнина може да бъде представена по няколко начина, като например:

- Форма за прихващане на наклон : ако m е наклонът на линията и b е пресечната точка на линията с вертикалната ос, уравнението на линията е y = mx + b.

- Общо уравнение на линията: Ax + By + C = 0, където m = A / B е наклонът.

В декартовата равнина вертикалните и хоризонталните линии са особени случаи на уравнението на линията.

- Вертикални линии: x = a

- Хоризонтални линии: y = k

Фигура 3. Вляво вертикалната линия x = 4 и хоризонталната линия y = 6. Вдясно пример за наклонена линия. Източник: Ф. Сапата.

В примерите на фигура 3 вертикалната червена линия има уравнение x = 4, докато линията, успоредна на оста x (синя), има уравнение y = 6. Що се отнася до линията вдясно, виждаме, че тя е наклонена и за да намерим неговото уравнение използваме точките, подчертани на фигурата: (0,2) и (4,0) по този начин:

Разрезът на тази линия с вертикалната ос е y = 2, както се вижда от графиката. С тази информация:

Определянето на ъгъла на наклон по отношение на оста x е лесно. Чувствам това:

Следователно положителният ъгъл от оста x към линията е: 180º - 26.6º = 153.4º

Примери за наклонени линии

Фигура 4. Примери за наклонени линии. Източник: фехтовач Иън Патерсън. Наклонената кула на Пиза. Pixabay.

Коси линии се появяват на много места, въпрос е да се обърне внимание да ги намерите в архитектурата, спорта, електрическото захранване, тръбите и много други места. В природата косите линии също присъстват, както ще видим по-долу:

Лъчи на светлината

Слънчевата светлина пътува по права линия, но кръглата форма на Земята влияе върху това как слънчевата светлина удря повърхността.

На изображението по-долу можем ясно да видим, че слънчевите лъчи удрят перпендикулярно в тропическите райони, но вместо това достигат до повърхността наклонено в умерените райони и полюсите.

Ето защо слънчевите лъчи изминават по-голямо разстояние през атмосферата и също така топлината се разпространява върху по-голяма повърхност (виж фигурата). Резултатът е, че районите в близост до полюсите са по-студени.

Фигура 5. Слънчевите лъчи падат косо в умерените зони и полюсите, вместо това те са повече или по-малко перпендикулярни в тропиците. Източник: Wikimedia Commons.

Линии, които не са в една и съща равнина

Когато две линии не са в една и съща равнина, те все още могат да бъдат наклонени или извити, както са известни. В този случай техните директорни вектори не са успоредни, но тъй като не принадлежат към една и съща равнина, тези линии не се пресичат.

Например линиите на фигура 6 вдясно са ясно в различни равнини. Ако ги погледнете отгоре, можете да видите, че те се пресичат, но нямат обща точка. Отдясно виждаме колелата на велосипеда, чиито спици сякаш се пресичат, когато се гледат отпред.

Фигура 6. Коси линии, принадлежащи на различни равнини. Източник: вляво F. Zapata, вдясно Pixabay.

Препратки

1. Геометрия. Директорски вектор на линия. Възстановени от: juanbragado.es.
2. Ларсън, Р. 2006. Изчисляване с аналитична геометрия. 8-ми. Edition. McGraw Hill.
3. Математиката е игра. Линии и ъгли. Възстановени от: juntadeandalucia.es.
4. Прави линии, които се пресичат. Възстановено от: profesoraltuna.com.
5. Вилена, М. Аналитична геометрия в R3. Възстановено от: dspace.espol.edu.ec.