ПРАВИЛОТО НА СИМПСЪН: ФОРМУЛА, ДОКАЗАТЕЛСТВО, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- Симпсън е правило е метод за изчисляване, приблизително, определени интеграли. Той се основава на разделяне на интервала на интегриране на четен брой еднакво разположени подинтервали.

Крайните стойности на два последователни подинтервала определят три точки, чрез които се вписва парабола, чието уравнение е полином от втора степен.

Фигура 1. В метода на Симпсън, интервалът на интегриране се подразделя на четен брой интервали с еднаква ширина. Функцията се апроксимира от парабола на всеки 2 интервали, а интегралът се приближава към сумата на площта под параболите. Източник: upv.es.

Тогава площта под кривата на функцията в двата последователни интервала се приближава до площта на полинома на интерполация. Като добавим приноса към площта под параболата на всички последователни подинтервали, имаме приблизителната стойност на интеграла.

От друга страна, тъй като интегралът на парабола може да се изчисли точно алгебрично, тогава е възможно да се намери аналитична формула за приблизителната стойност на определения интеграл. Известна е като формулата на Симпсън.

Грешката на така получения приблизителен резултат намалява, тъй като броят на подразделенията n е по-голям (където n е четно число).

По-долу ще бъде даден израз, който позволява да се оцени горната граница на грешката на приближението към интеграла I, когато е направен дял от n редовни подинтервала на общия интервал.

формула

Интеграционният интервал е разделен на n подинтервала, като n е четно число. Ширината на всяко подразделение ще бъде:

h = (b - a) / n

По този начин дялът се прави през интервала:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Където X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Формулата, която позволява да се сближи определеният интеграл I на непрекъснатата и за предпочитане гладка функция в интервала е:

демонстрация

За да се получи формулата на Симпсън, във всеки подинтервал функцията f (X) се приближава от полином от втора степен p (X) (парабола), който преминава през трите точки:; и.

Тогава се изчислява интегралът на полинома p (x), в който той се доближава до интеграла на функцията f (X) в този интервал.

Фигура 2. Графика, за да демонстрира формулата на Симпсън. Източник: Ф. Сапата.

Коефициенти на интерполационния полином

Уравнението на параболата p (X) има общата форма: p (X) = AX ² + BX + C. Докато параболата преминава през точките Q, обозначени с червено (виж фигурата), тогава коефициентите A, B, C се определят от следната система от уравнения:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Вижда се, че коефициентът C се определя. За да определим коефициента А, добавяме първото и третото уравнение, получавайки:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Тогава стойността на C се замества и A се изчиства, оставяйки:

A = / (2 h ²)

За да определите коефициента B, извадете третото уравнение от първото и решете за получаване на B:

B = = 2 h.

В обобщение, полиномът от втора степен p (X), който преминава през точките Qi, Qi + 1 и Qi + 2, има коефициенти:

A = / (2 h ²)

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Изчисляване на приблизителния интеграл в

Приблизително изчисляване на интеграла в

Както вече споменахме, дял {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} се прави през общия интервал на интегриране със стъпка h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, където n е четно число.

Грешка в апроксимацията

Обърнете внимание, че грешката намалява с четвъртата мощност от броя на подразделенията в интервала. Например, ако преминете от n подразделения на 2n, грешката намалява с коефициент 1/16.

Горната граница на грешката, получена с помощта на приближението на Симпсън, може да бъде получена от същата формула, замествайки четвъртото производно с максималната абсолютна стойност на четвъртото производно в интервала.

Работени примери

- Пример 1

Помислете за функция f (X) = 1 / (1 + X ²).

Намерете определения интеграл на функцията f (X) на интервала, използвайки метода на Симпсън с два подразделения (n = 2).

Решение

Взимаме n = 2. Границите на интегриране са a = -1 и b = -2, така че дялът изглежда така:

X0 = -1; X1 = 0 и X2 = +1.

Следователно формулата на Симпсън приема следната форма:

Фигура 3. Пример за числова интеграция по правило на Симпсън с използване на софтуер. Източник: Ф. Сапата.

Препратки

1. Casteleiro, JM 2002. Изчерпателно смятане (илюстрирано издание). Мадрид: ESIC редакция.
2. UPV. Методът на Симпсън. Политехнически университет във Валенсия. Възстановено от: youtube.com
3. Пърсел, Е. 2007. Изчисляване девето издание. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Правилото на Симпсън Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Интерполация на полином на Лагранж. Възстановено от: es.wikipedia.com