СИЛОВА СЕРИЯ: ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

A серия власт се състои от сумиране на условия под формата на правомощията на променлива х, или по-общо, на XC, където с е константа реално число. В обобщение нотация се изразява поредица от правомощия, както следва:

Където коефициентите a _o, a, ₁, ₂… са реални числа и серията започва при n = 0.

Фигура 1. Дефиниция на мощностни серии. Източник: Ф. Сапата.

Тази серия е съсредоточена върху стойността c, която е постоянна, но можете да изберете, че c е равно на 0, в този случай серията мощност опростява до:

Поредицата започва с a _или (xc) ⁰ и a _или x ⁰ съответно. Но ние знаем, че:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Следователно _о (Хс) ⁰ = A _или х ⁰ = по- _о (независим Терминът)

Хубавото на силовите серии е, че функциите могат да бъдат изразени с тях и това има много предимства, особено ако искате да работите със сложна функция.

Когато това е така, вместо директно да използвате функцията, използвайте нейното разширяване на серията на мощност, което може да бъде по-лесно да се извлече, интегрира или да се работи числено.

Разбира се всичко е обусловено от конвергенцията на серията. Серия, която се сближава, когато добавяте определен голям брой термини, дава фиксирана стойност. И ако добавим още термини, ние продължаваме да получаваме тази стойност.

Функционира като Power Series

Като пример за функция, изразена като мощен ред, нека вземем f (x) = e ^x.

Тази функция може да се изрази чрез серия от правомощия, както следва:

и ^х ≈ 1 + х + (х ² /2!) + (х ³ /3!) + (х ⁴ /4!) + (х ⁵ /5-цата!) +…

Където! = n. (П-1). (П-2). (n-3)… и отнема 0! = 1.

Ще проверим с помощта на калкулатор дали наистина серията съвпада с функцията, дадена изрично. Например да започнем с направата на x = 0.

Знаем, че e ⁰ = 1. Нека видим какво прави серията:

и ⁰ ≈ 0 + 1 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5-цата!) + = 1…

А сега нека опитаме x = 1. Калкулатор връща, че e ¹ = 2.71828, и тогава нека сравним със серията:

и ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5-цата!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Само с 5 термина вече имаме точно съвпадение в е ≈ 2,71. Нашата серия има само още малко, но тъй като се добавят повече термини, серията със сигурност се сближава до точната стойност на e. Представянето е точно, когато n → ∞.

Ако предишният анализ се повтори за n = 2, се получават много сходни резултати.

По този начин сме сигурни, че експоненциалната функция f (x) = e ^x може да бъде представена от тази поредица от сили:

Фигура 2. В тази анимация можем да видим как силовата серия се доближава до експоненциалната функция, тъй като се приемат повече термини. Източник: Wikimedia Commons.

Геометрична поредица от сили

Функцията f (x) = e ^x не е единствената функция, която поддържа представяне на силови серии. Например функцията f (x) = 1/1 - x прилича много на добре познатите конвергентни геометрични серии:

Достатъчно е да направите a = 1 и r = x, за да получите серия, подходяща за тази функция, която е центрирана при c = 0:

Известно е обаче, че тази серия е конвергентна за │r│ <1, следователно представянето е валидно само в интервала (-1,1), въпреки че функцията е валидна за всички x, с изключение на x = 1.

Когато искате да определите тази функция в друг диапазон, просто се фокусирате върху подходяща стойност и сте готови.

Как да намерите серийното разширяване на правомощията на функция

Всяка функция може да се развие в серия на мощност, съсредоточена върху c, стига да има производни на всички поръчки при x = c. Процедурата използва следната теорема, наречена теорема на Тейлър:

Нека f (x) е функция с производни от ред n, обозначени като f ⁽ⁿ⁾, което допуска серийно разширение на силите на интервала I. Серийното му развитие на Тейлър е:

Така че:

Където R _n, който е n-ти член на серията, се нарича остатък:

Когато c = 0, серията се нарича серия Maclaurin.

Тази серия, дадена тук, е идентична с поредицата, дадена в началото, само сега имаме начин изрично да намерим коефициентите на всеки термин, дадени от:

Трябва обаче да гарантираме, че сериите се сближават към функцията, която ще бъде представена. Случва се не всяка серия на Тейлър непременно да се сближава с f (x), което е имало предвид при изчисляването на коефициентите при _n.

Това се случва, защото може би производните на функцията, оценени на x = c, съвпадат със същата стойност на производни на друг, също при x = c. В този случай коефициентите биха били еднакви, но развитието би било нееднозначно, тъй като не е сигурно на коя функция отговаря.

За щастие има начин да знаете:

Критерий за конвергенция

За да се избегне неяснотата, ако R _n → 0 като n → ∞ за всички x в интервал I, серията се сближава до f (x).

Упражнение

- Упражнение разрешено 1

Намерете сериите на геометричната мощност за функцията f (x) = 1/2 - x, центрирана при c = 0.

Решение

Дадената функция трябва да бъде изразена по такъв начин, че да съвпада възможно най-близо с 1 / 1- x, чиито серии са известни. Затова нека пренапишем числителя и знаменателя, без да променяме оригиналния израз:

1/2 - x = (1/2) /

Тъй като ½ е константа, то се получава от сумирането и се записва от новата променлива x / 2:

Обърнете внимание, че x = 2 не принадлежи към областта на функцията и според критерия за конвергенция, даден в секцията Геометрична мощност, разширяването е валидно за │x / 2│ <1 или еквивалентно -2 <x <2.

- Упражнение решено 2

Намерете първите 5 термина от разширяването на серията Maclaurin на функцията f (x) = sin x.

Решение

Етап 1

Първо са деривативите:

-Производно на ред 0: това е същата функция f (x) = sin x

-Първо производно: (sin x) ′ = cos x

-Второ производно: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Трето производно: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Четвърта производна: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Стъпка 2

Тогава всяко производно се оценява при x = c, както е разширението на Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Стъпка 3

Построени са коефициентите a _n;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Стъпка 4

Накрая серията се сглобява според:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Нуждае ли се читателят от повече термини? Колко повече, серията е по-близо до функцията.

Обърнете внимание, че има коефициент в коефициентите, следващият ненулев термин е ₅ и всички тези с нечетен индекс също са различни от 0, редувайки знаците, така че:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Оставя се като упражнение за проверка дали се сближава, критерият коефициент може да се използва за конвергенцията на сериите.

Препратки

1. Фондация CK-12. Power Series: представяне на функции и операции. Възстановено от: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Интегрално смятане. Националният университет на Литорала.
3. Larson, R. 2010. Изчисляване на променлива. 9-ти. Edition. McGraw Hill.
4. Математика Безплатни текстове. Серия за захранване. Възстановено от: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Серия за захранване. Възстановено от: es.wikipedia.org.