ЦЕНТРАЛНА СИМЕТРИЯ: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Две точки A и A 'имат централна симетрия по отношение на точка O, когато сегментът AA' преминава през нея и тя е също средната точка на AA '. Точка O се нарича център на симетрия.

Централната симетрия на триъгълник ABC по отношение на точка O е друг триъгълник A'B'C ', който има следните характеристики:

-Хомологичните сегменти са с еднаква дължина

- Съответните ъгли имат една и съща мярка.

Фигура 1. Триъгълник ABC и неговата симетрична A'B'C '. Източник: Ф. Сапата.

Фигура 1 показва триъгълник ABC (червен) и неговата централна симетрия A'B'C '(зелена) по отношение на центъра на симетрия O.

На същата тази фигура внимателен наблюдател би разбрал, че същият резултат се получава, като приложи въртене на първоначалния триъгълник, стига да е 180º и да е центриран в O.

Следователно централната симетрия е еквивалентна на завой от 180 ° по отношение на центъра на симетрия.

Свойства на централната симетрия

Централната симетрия има следните свойства:

-Центърът на симетрията е средната точка на сегмента, който съединява точка със своята симетрия.

-Симетрична точка на друга, която е разположена в центъра на симетрия, съвпада с центъра на симетрията.

- Централният симетричен на триъгълник е съответен триъгълник (равен) на оригинала.

-Изображението чрез централна симетрия на кръг е друг кръг с равен радиус.

- Обиколката има централна симетрия по отношение на собствения си център.

Фигура 2. Дизайн с централна симетрия. Източник: Pixabay

-Елипсата има централна симетрия по отношение на нейния център.

-Сегментът има централна симетрия по отношение на средната си точка.

-Равностранният триъгълник няма централна симетрия по отношение на центъра му, защото симетрията му, макар и конгруентна с първата, дава въртящ се равностранен триъгълник.

-Кватрите имат централна симетрия по отношение на центъра им.

-Пентагонът няма централна симетрия по отношение на центъра му.

-Регулярните полигони имат централна симетрия, когато имат четен брой страни.

Примери

Критериите за симетрия имат много приложения в науката и инженерството. Централната симетрия присъства в природата, например ледени кристали и паяжини имат този вид симетрия.

Освен това много проблеми се решават лесно, когато се възползвате от наличието на централна симетрия и други видове симетрия. Затова е удобно бързо да се идентифицира кога се случва.

Фигура 3. Ледените кристали имат централна симетрия. Източник: Pixabay

Пример 1

Като имаме точка P от координати (a, b), трябва да намерим координатите на нейния симетричен P 'по отношение на началото O на координатите (0, 0).

Първото нещо е да се изгради точката P ', за която се очертава линия, която преминава през началото O и през точката P. Уравнението на тази права е y = (b / a) x.

Сега нека наречем (a ', b') координатите на симетричната точка P '. Точка P 'трябва да лежи на линията, която минава през O и следователно е вярно: b' = (b / a) a '. Освен това разстоянието OP трябва да е равно на OP ', което в аналитична форма е написано така:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Следното е да се замени b '= в предишния израз и да се квадратят двете страни на равенството, за да се елиминира квадратният корен: (a ² + b ²) =

Чрез извличане на общ фактор и опростяване получаваме, че a ' ² = a ². Това уравнение има две реални решения: a '= + a или a' = -a.

За да получим b ', използваме отново b' = (b / a) a '. Ако положителното решение на a е заменено, стигаме до това b '= b. И когато отрицателното решение е заместено, тогава b '= -b.

Положителното решение дава за P 'същата точка P, така че се изхвърля. Отрицателното решение определено дава координатите на симетричната точка:

P ': (-a, -b)

Пример 2

Изисква се да се покаже, че сегмент AB и неговият централен симетричен A'B 'имат еднаква дължина.

Започвайки с координатите на точка A, които са (Ax, Ay) и тези от точка B: (Bx, By), дължината на сегмент AB се дава от:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²)

По аналогия симетричният сегмент A'B 'ще има дължина, дадена от:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (От' - Ay ') ²)

Координатите на симетричната точка A 'са Ax' = -Ax и Ay '= -Ay. Подобно тези на B 'са Bx' = -Bx и By '= -By. Ако тези координати са заместени в уравнението на разстоянието d (A'B '), имаме:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²), което е еквивалентно на:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

По този начин се показва, че и двата сегмента имат една и съща дължина.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Покажете аналитично, че централната симетрична O на окръжност с радиус R и център O е един и същ оригинален кръг.

Решение

Уравнението на окръжност с радиус R и център O (0,0) е:

x ² + y ² = R ² (уравнение на обиколката C)

Ако във всяка точка P от обиколката y на координатите (x, y) се намери нейният симетричен P 'от координати (x', y '), уравнението на симетричната обиколка е:

x ' ² + y' ² = R ² (уравнение на симетричния кръг C ')

Сега се позоваваме на резултата от пример 1, в който се заключава, че координатите на точка P ', симетрична на P и с координати (a, b), е (-a, -b).

Но в това упражнение точка P има координати (x, y), така че нейният симетричен P 'ще има координати x' = -xe y '= -y. Замествайки това в уравнението на симетричния кръг имаме:

(-x) ² + (-ил) ² = R ²

Което е еквивалентно на: x ² + y ² = R ², заключавайки, че централната симетрия на окръжност по отношение на центъра й е самата окръжност.

- Упражнение 2

Покажете в геометрична форма, че централната симетрия запазва ъглите.

Решение

Фигура 4. Изграждане на симетричните точки за упражнение 2. Източник: Ф. Сапата.

В равнината има три точки A, B и C. Симетриите му A ', B' и C 'са конструирани по отношение на центъра на симетрия O, както е показано на фигура 4.

Сега трябва да покажем, че ъгълът ∡ABC = β има същата мярка като ъгъл ∡A'B'C '= β'.

Тъй като C и C 'са симетрични, тогава OC = OC'. По подобен начин OB = OB 'и OA = OA'. От друга страна, ъгълът ∡BOC = ∡B'OC ', защото са противоположни на върха.

Следователно триъгълниците BOC и B'OC 'са съвпадащи, защото имат равен ъгъл между две равни страни.

Тъй като BOC е в съответствие с B'OC ', тогава ъглите γ и γ' са равни. Но тези ъгли, освен че изпълняват γ = γ ', са вътрешни редуващи се между линии BC и B'C', което означава, че права BC е успоредна на B'C '.

По подобен начин BOA е в съответствие с B'OA ', от което следва, че α = α'. Но α и α 'са алтернативни вътрешни ъгли между линии BA и B'A', от които се заключава, че линия BA е успоредна на B'A '.

Тъй като ъгълът ∡ABC = β има своите страни успоредни на ъгъла ∡A'B'C '= β', а също и двете са остри, се заключава, че:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Доказвайки по този начин, че централната симетрия запазва мярката на ъглите.

Препратки

1. Балдор, JA 1973. Самолетна и космическа геометрия. Централноамериканска културна.
2. Математически закони и формули. Системи за измерване на ъгъл. Възстановено от: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Възстановено от: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Централна симетрия. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Конвейер. Възстановено от: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Конюгирайте вътрешните и външните ъгли. Възстановено от: lifeder.com