ТЕОРЕМА НА НОРТЪН: ОПИСАНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На теоремата Norton, приложена към електрически вериги, определя с права верига с два терминали А и В, може да бъде заменена с друга напълно равностоен, състояща се от източник на ток I повикване _не свързани в паралел с резистентност R _Не.

Споменатият ток I _Не или I _N е този, който би протичал между точки a и b, ако те бяха късо съединение. Съпротивлението R _N е еквивалентното съпротивление между клемите, когато всички независими източници се изключат. Всичко казано е изложено на фигура 1.

Фигура 1. Еквивалентна верига на Нортън. Източник: Wikimedia Commons. Drumkid

Черната кутия на фигурата съдържа линейната верига, която трябва да бъде заменена от нейния еквивалент на Нортън. Линейна верига е тази, в която входът и изходът имат линейна зависимост, като връзката между напрежението V и постоянен ток I в омичен елемент: V = IR

Този израз съответства на закона на Ом, където R е съпротивлението, което също може да бъде импеданс, ако е верига с променлив ток.

Теоремата на Нортън е разработена от електроинженера и изобретател Едуард Л. Нортън (1898-1983), който дълго време работи за Bell Labs.

Приложения на теоремата на Нортън

Когато имате много сложни мрежи, с много съпротивления или съпротивления и искате да изчислите напрежението между някое от тях или тока, който протича през него, теоремата на Нортън опростява изчисленията, тъй като както видяхме, мрежата може да бъде заменена с по-малка и по-управляема верига.

По този начин теоремата на Нортън е много важна при проектирането на вериги с множество елементи, както и за изучаване на реакцията на тях.

Връзка между теоремите на Нортън и Тевенин

Теоремата на Нортън е двойствената на теоремата на Тевенин, което означава, че те са равностойни. Теоремата на Тевенин гласи, че черната кутия на фигура 1 може да бъде заменена от източник на напрежение последователно с резистор, наречен резистор Thevenin R _Th. Това се изразява на следната фигура:

Фигура 2. Оригинална схема вляво и нейните еквиваленти Thévenin и Norton. Източник: Ф. Сапата.

Схемата вляво е оригиналната верига, линейната мрежа в черната кутия, верига A в горната дясна част е еквивалентът на Thevenin, а верига B е еквивалентът на Нортън, както е описано. Гледани от клеми a и b, трите вериги са еквивалентни.

Сега имайте предвид, че:

-В оригиналната верига напрежението между клемите е V _ab.

-V _ab = V _Th във верига A

-Накрая, V _ab = I _N.R _N във верига B

Ако клемите a и b са късо съединени и в трите вериги, трябва да се уверите, че напрежението и токът между тези точки трябва да са еднакви и за трите, тъй като те са еквивалентни. Така:

-В оригиналната верига токът е i.

-За верига A, токът е i = V _Th / R _Th, според закона на Ом.

-Накрая във верига B, токът е I _N

Следователно се заключава, че съпротивленията на Нортън и Тевенин имат една и съща стойност и че токът се дава от:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

пример

За правилното прилагане на теоремата на Нортън се следват следните стъпки:

-Изолирайте от мрежата частта от веригата, за която трябва да се намери еквивалентът на Нортън.

-В останалата верига посочете клемите a и b.

-Заместете източниците на напрежение за къси съединения и източниците на ток за отворени вериги, за да намерите еквивалентното съпротивление между клемите a и b. Това е R _N.

-Върнете всички източници до първоначалните си позиции, късо съединете клемите и намерете тока, който циркулира между тях. Това е, че _N.

-Начертайте еквивалентната верига на Нортън според това, което е показано на фигура 1. Както източникът на ток, така и еквивалентното съпротивление са паралелни.

Теоремата на Тевенин може да се приложи и за намиране на R _Th, което вече знаем, че е равно на R _N, тогава по закона на Ом можем да намерим I _N и да пристъпим към изготвяне на получената схема.

А сега нека видим пример:

Намерете еквивалента на Нортън между точки А и В на следната верига:

Фигура 3. Примерна схема. Източник: Ф. Сапата.

Частта от веригата, чийто еквивалент трябва да се намери, вече е изолирана. И точки А и Б са ясно определени. Следва да се късо съединение на 10 V източник и да се намери еквивалентното съпротивление на получената верига:

Фигура 4. Източник на късо съединение. Източник: Ф. Сапата.

Гледан от терминали А и В, като и двата резистора R ₁ и R ₂ са паралелно, следователно:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Тогава източникът е обратно на място и точките А и Б са накъсо да намерите токът там, това ще ми _N. В този случай:

Фигура 5. Верига за изчисляване на Norton ток. Източник: Ф. Сапата.

I _N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A

Нортън еквивалент

Накрая еквивалентът на Нортън се изготвя с намерените стойности:

Фигура 6. Нортонов еквивалент на веригата на фигура 3. Източник: F. Zapata.

Упражнението е разрешено

В схемата на следната фигура:

Фигура 7. Верига за разрешеното упражнение. Източник: Александър, C. 2006. Основи на електрическите вериги. 3-ти. Edition. Mc Graw Hill.

a) Намерете еквивалентната верига на Нортън от външната мрежа към синия резистор.

б) Намерете също еквивалента на Тевен.

Решение за

Следвайки посочените по-горе стъпки, източникът трябва да бъде с късо съединение:

Фигура 8. Източник с късо съединение във веригата на фигура 7. Източник: F. Zapata.

RN изчисление

Гледан от клемите A и B, резисторът R ₃ е последователно с успоредката, образувана от резисторите R ₁ и R ₂, нека първо да изчислим еквивалентното съпротивление на този паралел:

И тогава този паралел е в серия с R _3, така че еквивалентното съпротивление е:

Това е стойността както на R _{N, така} и на R _Th, както беше обяснено по-рано.

В изчисление

След това терминалите A и B се свързват с късо съединение, връщайки източника на мястото си:

Фигура 9. Схеми за намиране на Нортонов ток. Източник: Ф. Сапата.

Токът през _I3 е търсеният ток I _N, който може да се определи с метода на мрежата или като се използват серии и паралели. В тази верига R ₂ и R ₃ са успоредни:

Резистор R ₁ е в серия с това паралелно, тогава:

Токът, излизащ от източника (син цвят), се изчислява по закона на Ом:

Този ток е разделен на две части: едната, който преминава през R ₂ и друг, който преминава през R ₃. Въпреки това, на ток, който преминава през паралелно R ₂₃ е същият, който преминава през R ₁, както може да се види в междинния контур на фигурата. Напрежението там е:

И двата резистора R ₂ и R ₃ са на това напрежение, тъй като те са паралелно, следователно:

Вече имаме търсен ток на Нортън, тъй като както вече казах I ₃ = I _N, тогава:

Нортън еквивалент

Всичко е готово да нарисувате нортънския еквивалент на тази верига между точки А и Б:

Фигура 10. Нортонов еквивалент на веригата на фигура 7. Източник: F. Zapata.

Решение b

Намирането на еквивалента на Тевенина е много просто, тъй като R _Th = R _N = 6 Ω и както е обяснено в предходните раздели:

V _Th = I _N. R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V

Еквивалентната схема на Тевен е:

Фигура 11. Теванин еквивалент на веригата на фигура 7. Източник: F. Zapata.

Препратки

1. Александър, C. 2006. Основи на електрическите вериги. 3-ти. Edition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Въведение в анализа на веригата. 2-ри. Edition. Пиърсън.
3. Dorf, R. 2006. Въведение в електрическите вериги. 7-ми. Edition. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Електрически вериги. Серия Schaum. 3-ти. Edition. Mc Graw Hill.
5. Wikipedia. Теорема на Нортън. Възстановено от: es.wikipedia.org.