ТЕОРЕМА НА ТЕВЕНИН: ОТ КАКВО СЕ СЪСТОИ, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В Thevenin е теорема посочва, че съединение с терминали А и В могат да бъдат заместени с един еквивалент, състояща се от източник и устойчивост серия чиито стойности се получи същото потенциалната разлика между А и В и същ импеданс като на оригиналната верига,

Тази теорема е оповестена през 1883 г. от френския инженер Леон Чарлз Тевенин, но се твърди, че тя е обявена тридесет години по-рано от германския физик Херман фон Хелмхолц.

Фигура 1. Теорема на Тевенин. Източник: самостоятелно направен

Полезността му се състои в това, че дори когато оригиналната верига е сложна или непозната, за целите на натоварване или съпротивление, поставено между клеми А и В, простата еквивалентна верига на Тевен се държи по същия начин като оригиналната,

Как се изчислява еквивалентното напрежение стъпка по стъпка?

Разликата в напрежението или потенциала на еквивалентната верига може да бъде получена по следните начини:

- Експериментално

Получаване на еквивалентното напрежение на Тевенин

Ако става дума за устройство или оборудване, което е в „черна кутия“, потенциалната разлика между клемите A и B се измерва с волтметър или осцилоскоп. Много е важно да не се поставя товар или импеданс между клеми A и B.

Волтметър или осцилоскоп не представляват никакво натоварване на клемите, тъй като и двете устройства имат много голям импеданс (в идеалния случай безкраен) и би било така, сякаш клемите A и B са без товар. Напрежението или напрежението, получени по този начин, е еквивалентното напрежение на Тевен.

Получаване на еквивалентния импеданс на Thévenin

За да се получи еквивалентният импеданс от експериментално измерване, между клемите А и В се поставя познато съпротивление и сигналът за спад или напрежение се измерва с осцилоскоп.

От падането на напрежението в познатото съпротивление между клемите може да се получи токът, преминаващ през него.

Продуктът на получения ток с еквивалентното съпротивление плюс спад на напрежението, измерен в известното съпротивление, е равен на еквивалентното преди това получено напрежение на Тевен. От това равенство се изчиства еквивалентният импеданс на Thévenin.

- Решаване на веригата

Изчисляване на еквивалентното напрежение на Тевенин

Първо, всеки товар или импеданс се изключва от клемите A и B.

Както е известна веригата, се прилага теорията на мрежата или законите на Кирхоф, за да се намери напрежението в клемите. Това напрежение ще бъде еквивалентът на Тевенин.

Изчисляване на еквивалентния импеданс на Thévenin

За да получите еквивалентния импеданс, преминете към:

- Заменете източниците на напрежение на оригиналната верига с къси съединения "нулев импеданс", а източниците на ток на оригиналната верига с отворени "безкраен импеданс".

- Тогава еквивалентният импеданс се изчислява, следвайки правилата на серийни съпротивления и паралелни импеданси.

Приложения на теоремата на Тевенин (част I)

Ще приложим теоремата на Тевенин за решаване на някои схеми. В тази първа част разглеждаме схема, която има само източници на напрежение и резистори.

Пример 1а (изчисляване на еквивалентно напрежение стъпка по стъпка)

Фигура 2 показва схемата, която е в небесна кутия, която има две акумулаторни батерии V1 и V2 съответно и резистори R1 и R2, веригата има клеми A и B, в които може да се свърже товар.

Фигура 2. Пример 1 от теоремата на Тевенин. Източник: самостоятелно направен

Целта е да се намери еквивалентната верига на Тевен, тоест да се определят стойностите Vt и Rt на еквивалентната верига. Приложете следните стойности: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω и R = 1Ω.

Стъпка по стъпка решение

Етап 1

Ще определим напрежението през клемите A и B, когато върху тях не е поставен товар.

Стъпка 2

Веригата, която трябва да бъде решена, се състои от една мрежа, през която циркулира ток I, който сме приели положително по посока на часовниковата стрелка.

Стъпка 3

Преминаваме през мрежата, започвайки от долния ляв ъгъл. Пътят води до следното уравнение:

V1 - I * R1 - I * R2 - V2 = 0

Стъпка 4

Ние решаваме за мрежовия ток I и получаваме:

I = (V1 -V2) / (R1 + R2) = (4V - 1V) / (3Ω + 6Ω) = ⅓ A

Стъпка 5

С мрежовия ток можем да определим разликата в напрежението между A и B, която е:

Vab = V1 - I * R1 = 4V - ⅓ A * 3Ω = 3V

С други думи, еквивалентното напрежение на Тевенин е: Vt = 3V.

Стъпка 6 (еквивалентна съпротива на Тевенин)

Сега пристъпваме към изчисляване на еквивалентното съпротивление на Тевен, за което и както беше споменато по-горе източниците на напрежение се заменят с кабел.

В този случай имаме само два резистора успоредно, така че еквивалентното съпротивление на Тевен е:

Rt = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Пример 1b (ток в товар с помощта на еквивалент на Тевенин)

Свържете като товар към клеми A и B съпротивление R = 1Ω към еквивалентната верига и намерете тока, който протича през споменатия товар.

Решение

Когато съпротивлението R е свързано към еквивалентната верига на Тевенин, имаме проста верига, състояща се от източник Vt и съпротивление Rt последователно със съпротивлението R.

Ще наречем Ic тока, преминаващ през товара R, така че мрежовото уравнение изглежда така:

Vt - Ic * Rt - Ic * R = 0

от което следва, че Ic се дава от:

Ic = Vt / (Rt + R) = 3V / (2Ω + 1Ω) = 1 A

Доказателство за теоремата на Тевенин

За да проверите дали теоремата на Тевенин е вярна, свържете R към оригиналната верига и намерете тока, протичащ през R, като приложите закона на мрежата към получената верига.

Получената схема остава и нейните мрежови уравнения остават, както е показано на следната фигура:

Фигура 3. Мрежести токове. (Собствена разработка)

Чрез добавяне на мрежовите уравнения е възможно да се намери мрежовият ток I1 като функция на тока I2. Тогава тя се замества във второто мрежово уравнение и уравнението се оставя с I2 като единствено неизвестно. Следващата таблица показва операциите.

Фигура 4. Подробности за операциите. (Собствена разработка)

Тогава стойностите на съпротивлението и напрежението на източниците се заместват, получавайки числовата стойност на мрежовия ток I2.

Фигура 5. Подробности за резултатите. (Собствена разработка)

Токът на мрежата I2 е токът, който протича през съпротивлението на натоварване R, а стойността, намерена от 1 A, напълно съвпада с тази, открита по-рано с еквивалентната верига на Тевенин.

Прилагане на теоремата на Тевенин (част II)

В тази втора част теоремата на Тевенин ще бъде приложена във верига, която има източници на напрежение, източници на ток и съпротивления.

Пример 2а (еквивалентна съпротива на Тевена)

Целта е да се определи еквивалентната верига на Тевен на следната фигура, когато клемите са без съпротивление 1 ом, тогава се поставя съпротивлението и се определя токът, преминаващ през него.

Фигура 6. Пример 2. Схема (собствена разработка)

Решение

За да намерите еквивалентното съпротивление, отстранете съпротивлението на натоварването (в този случай 1 ома). Освен това източниците на напрежение се заменят от късо съединение, а източниците на ток от отворена верига.

По този начин веригата, за която ще се изчисли еквивалентното съпротивление, е тази, показана по-долу:

Фигура 7. Детайл за изчисляване на еквивалентното съпротивление (Собствена разработка)

Rab = (12Ω * 4Ω) / (12Ω + 4Ω) = 3Ω, което е еквивалентното съпротивление на Тевенин (Rth).

Пример 2б

Изчислете еквивалентното напрежение на Тевен.

Решение

За да изчислим еквивалентното напрежение на Тевенин, считаме следната схема, в която ще поставим токовете в I1 и I2 в клоните, посочени на следната фигура:

Фигура 8. Подробности за изчислението на напрежението на Тевенин. (Собствена разработка)

На предишната фигура уравнението на текущите възли и уравнението на напреженията са показани при пресичане на външната мрежа. От второто от уравненията токът I1 се изчиства:

I1 = 2 - I2 * (5/3)

Това уравнение се замества в уравнението на възлите:

I2 = 2 - (5/3) I2 + 2 ===> I2 (8/3) = 4 ===> I2 = 12/8 = 1,5 A

Това означава, че спадът на напрежението през 4 ома резистор е 6 волта.

Накратко, напрежението на Тевенин е Vth = 6 V.

Пример 2в

Намерете еквивалентната верига и ток на Thevenin в резистора за натоварване.

Фигура 9. Ток в товара с еквивалент на Тевенин. (Собствена разработка)

Решение

На фигурата по-горе е показана еквивалентната верига на Тевенин със съпротивлението на натоварването R. От уравнението на напрежението в мрежата, токът I, който протича през съпротивлението на товара R.

I = Vth / (Rth + R) = 6V / (3Ω + 1Ω) = 1,5 A

Прилагане на теоремата на Тевенин (част III)

В тази трета част от приложението на теоремата на Тевенин се разглежда схема на променлив ток, която съдържа променлив източник на напрежение, кондензатор, индуктивност и съпротивление.

Пример 3

Целта е да намерим веригата на Thévenin, еквивалентна на следната верига:

Фигура 10. Тевенин в верига с променлив ток. (Собствена разработка)

Решение

Еквивалентният импеданс съответства на този на кондензатора успоредно със серийната комбинация от съпротивление и индуктивност.

Обратната стойност на еквивалентния импеданс се дава от:

Zeq ^ -1 = (-5j) ^ - 1 + (5 + 5j) ^ - 1 = (1/5) j + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3 / 10 j) Mho

И тогава еквивалентният импеданс ще бъде:

Zeq = (1 - 3 j) Ом

Сложният ток I може да се извлече от мрежовото уравнение:

50V∠0 - I (-5 j + 5 + 5j) = 50V∠0 - I * 5 = 0 ===> I = 10A ∠0

Сега се изчислява спадът на напрежението в съпротивлението плюс индуктивността, тоест напрежението Vab, което ще бъде еквивалентното напрежение на Тевенин:

Vab = I * (5 + 5 j) Ω = 10A ∠0 * 5Ω∠45º = 50V∠45º

С други думи, еквивалентното напрежение има същата пикова стойност на първоначалния източник, но е на 45 градуса извън фазата: Vth = 50V∠45º

Препратки

1. Уроци по електроника, теорема на Тевенин. Възстановено от: electronics-tutorials.ws
2. Въпроси и отговори на теорията на мрежата. Теорема на Тевенин. Възстановени от: sanfoundry.com
3. Теорема на Тевенин. Стъпка по стъпка процедура. Възстановено от: electrictechnology.org
4. Теорема на Тевенин. Решен пример стъпка по стъпка. Възстановени от: electricsimple.blogspot.com
5. Работилница по теоремите на Тевенин и Нортън. Възстановено от: web.iit.edu
6. Wikipedia. Теорема на Тевенин. Възстановено от: wikipedia.com