ТЕОРЕМА НА ТОРИЧЕЛИ: ОТ КАКВО СЕ СЪСТОИ, ФОРМУЛИ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На теоремата Torricelli или принцип Torricelli посочва, че скоростта на течността, излизащ от отвор в стената на резервоар или контейнер, е идентично с това придобива обект е изпускан свободно от височина, равна на повърхността без течност до дупката.

Теоремата е илюстрирана на следната фигура:

Илюстрация на теоремата на Торичели. Източник: самостоятелно направен.

Поради теоремата на Торичели можем да заявим, че скоростта на изхода на течността през отвор, който е на височина h под свободната повърхност на течността, се дава по следната формула:

Където g е ускорението на гравитацията и h е височината от отвора до свободната повърхност на течността.

Евангелиста Торичели е физик и математик, роден в град Фаенца, Италия през 1608 г. Торичели е кредитиран за изобретяването на живачния барометър и по признание има единица за налягане, наречена „тор“, еквивалентна на един милиметър живак. (mm от Hg).

Доказателство за теоремата

В теоремата на Торичели и във формулата, която дава скоростта, се приема, че загубите на вискозитет са незначителни, точно както при свободно падане се приема, че триенето поради въздуха, обграждащ падащия обект, е незначително.

Горното предположение е разумно в повечето случаи и включва и запазване на механичната енергия.

За да докажем теоремата, първо ще намерим формулата за скоростта на обект, който се освобождава с нулева начална скорост, от същата височина като повърхността на течността в резервоара.

Принципът на запазване на енергията ще се прилага за получаване на скоростта на падащия обект точно когато той се е спуснал на височина h, равна на тази от отвора към свободната повърхност.

Тъй като няма загуби от триене, е валидно да се приложи принципа за запазване на механичната енергия. Да предположим, че падащият обект има маса m и височината h се измерва от нивото на изхода на течността.

Падащ обект

Когато обектът се освободи от височина, равна на тази на свободната повърхност на течността, неговата енергия е само гравитационен потенциал, тъй като скоростта му е нула и следователно кинетичната му енергия е нула. Потенциалната енергия Ep се дава от:

Ep = mgh

Когато минава пред отвора, височината му е нула, тогава потенциалната енергия е нула, така че има само кинетична енергия Ec, дадена от:

Ec = ½ mv ²

Тъй като енергията се запазва Ep = Ec от полученото:

½ mv ² = mgh

Решавайки за скоростта v, след това се получава формулата на Torricelli:

Течност, излизаща от дупката

След това ще намерим скоростта на изхода на течността през дупката, за да покажем, че тя съвпада с тази, която току-що е изчислена за свободно падащ обект.

За това ще се основаваме на принципа на Бернули, който не е нищо повече от запазването на енергията, прилагана към течностите.

Принципът на Бернули е формулиран така:

Тълкуването на тази формула е следното:

• Първият термин представлява кинетичната енергия на флуида на единица обем
• Втората представлява работата, извършена чрез налягане на единица площ на напречното сечение
• Третата представлява гравитационната потенциална енергия на единица обем течност.

Тъй като започваме от предположението, че става въпрос за идеална течност, в нетурбулентни условия със сравнително ниски скорости, тогава е уместно да потвърдим, че механичната енергия на единица обем в течността е постоянна във всички нейни области или напречни сечения.

В тази формула V е скоростта на флуида, ρ плътността на флуида, P налягането и z вертикалното положение.

Фигурата по-долу показва формулата на Торичели, започваща от принципа на Бернули.

Прилагаме формулата на Бернули върху свободната повърхност на течността, обозначена с (1), и върху изходната дупка, обозначена с (2). Избрано е нулевото ниво на главата заедно с изходния отвор.

Предполагайки, че напречното сечение в (1) е много по-голямо, отколкото в (2), можем да предположим, че скоростта на спускане на течността в (1) е практически незначителна.

По тази причина V ₁ = 0 е зададено, налягането, на което е подложена течността в (1), е атмосферно налягане, а височината, измерена от отвора, е h.

За изходната част (2) приемаме, че скоростта на изхода е v, налягането, на което течността се подлага на изхода, също е атмосферно налягане и височината на изхода е нула.

Стойностите, съответстващи на секции (1) и (2), се заместват във формулата на Бернули и се определят равни. Равенството важи, защото приемаме, че течността е идеална и няма вискозни загуби от триене. След като всички термини са опростени, се получава скоростта на изходния отвор.

Полето по-горе показва, че полученият резултат е същият като този на свободно падащ обект,

Решени упражнения

Упражнение 1

I) Малката изпускателна тръба на резервоар за вода е на 3 m под повърхността на водата. Изчислете скоростта на изхода на водата.

Решение:

Следващата фигура показва как формулата на Торичели се прилага в този случай.

Упражнение 2

II) Ако приемем, че изходната тръба на резервоара от предишното упражнение е с диаметър 1 см, изчислете потока на изхода на водата.

Решение:

Дебитът е обемът на изтичащата течност за единица време и се изчислява просто като се умножи площта на изходния отвор по скоростта на изхода.

Следващата фигура показва детайлите на изчислението.

Упражнение 3

III) Определете колко висока е свободната повърхност на водата в контейнер, ако знаете

че в дупка в дъното на контейнера водата излиза при 10 m / s.

Решение:

Дори когато дупката е на дъното на контейнера, формулата Torricelli все още може да се приложи.

Следващата фигура показва детайлите на изчисленията.

Препратки

1. Wikipedia. Теорема на Торичели.
2. Хюит, П. Концептуална физическа наука. Пето издание.119.
3. Млад, Хю. 2016. Университетската физика на Sears-Zemansky с модерна физика. 14-ти изд. Пирсън. 384.