НЕПРЕКЪСНАТА ПРОМЕНЛИВА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В непрекъснато променливата е този, който може да отнеме един безкраен брой на числени стойности между дадени две стойности, дори ако тези две стойности са произволно близки. Те се използват за описание на измерими атрибути; например височина и тегло. Стойностите, които непрекъснатата променлива приема, могат да бъдат рационални числа, реални числа или сложни числа, въпреки че последният случай е по-рядък в статистиката.

Основната характеристика на непрекъснатите променливи е, че между две рационални или реални стойности винаги може да се намери друга, а между тази друга и първата друга стойност може да бъде намерена и т.н. за неопределено време.

Фигура 1. Кривата представлява непрекъснато разпределение, а баровете - дискретна. Източник: pixabay

Да предположим например променливото тегло в група, където най-тежката тежи 95 кг, а най-ниската - 48 кг; това би бил обхватът на променливата и броят на възможните стойности е безкраен.

Например между 50.00 kg и 50.10 kg може да бъде 50.01. Но между 50.00 и 50.01 може да бъде мярката 50.005. Това е непрекъсната променлива. От друга страна, ако при възможните измервания на теглото се установи точност на един десетичен знак, използваната променлива би била дискретна.

Непрекъснатите променливи принадлежат към категорията на количествените променливи, тъй като имат числова стойност, свързана с тях. С тази числена стойност е възможно да се извършват математически операции, вариращи от аритметични до безкрайно малки методи за изчисление.

Примери

Повечето от променливите във физиката са непрекъснати променливи, сред тях можем да назовем: дължина, време, скорост, ускорение, енергия, температура и други.

Непрекъснати променливи и дискретни променливи

В статистиката могат да бъдат определени различни видове променливи, както качествени, така и количествени. Непрекъснатите променливи принадлежат към последната категория. С тях е възможно да се извършват аритметични и изчислителни операции.

Например променливата h, съответстваща на хора с височина между 1,50 m и 1,95 m, е непрекъсната променлива.

Нека сравним тази променлива с тази друга: колко пъти хвърлянето на монети изплува глави, което ще наречем n.

Променливата n може да приема стойности между 0 и безкрайност, но n не е непрекъсната променлива, тъй като не може да приеме стойността 1.3 или 1.5, тъй като между стойности 1 и 2 няма друга. Това е пример за дискретна променлива.

Упражняване на непрекъснати променливи

Помислете следния пример: машина произвежда кибрити и ги опакова в кутията си. Определят се две статистически променливи:

Номиналната дължина на съвпадението е 5,0 cm с допуск 0,1 cm. Броят на мачовете на кутия е 50 с допуск 3.

а) Посочете диапазона от стойности, които L и N могат да приемат.

б) Колко стойности може да вземе L?

в) Колко стойности можете да вземете?

Във всеки случай посочете дали е дискретна или непрекъсната променлива.

Решение

Стойностите на L са в диапазона; т.е. стойността на L е в интервала и променливата L може да приема безкрайни стойности между тези две измервания. Тогава тя е непрекъсната променлива.

Стойността на променлива n е в интервала. Променливата n може да вземе само 6 възможни стойности в интервала на допустимия отклонение, след това е дискретна променлива.

Упражнение на

Ако освен че са непрекъснати, стойностите, взети от променливата, имат известна вероятност за възникване, свързана с тях, то това е непрекъсната произволна променлива. Много е важно да се разграничи дали променливата е дискретна или непрекъсната, тъй като вероятностните модели, приложими към единия и другия, са различни.

Непрекъснатата случайна променлива е напълно дефинирана, когато са известни стойностите, които тя може да приеме, и вероятността всяка от тях да се случи.

-Упражнение 1 на вероятностите

Производителят на мачове ги прави по такъв начин, че дължината на пръчките винаги да е между стойностите 4,9 см и 5,1 см и нула извън тези стойности. Има вероятност да се получи пръчка, която да е между 5,00 и 5,05 см, въпреки че бихме могли да извадим и една от 5 0003 cm. Дали тези стойности са еднакво вероятни?

Решение

Да предположим, че плътността на вероятностите е еднаква. Вероятностите за намиране на съвпадение с определена дължина са изброени по-долу:

-Това съвпадение е в диапазона има вероятност = 1 (или 100%), тъй като машината не изтегля съвпадения извън тези стойности.

-Намирането на съвпадение, което е между 4,9 и 5,0, има вероятност = ½ = 0,5 (50%), тъй като е половината от обхвата на дължините.

-И вероятността мачът да е с дължина между 5.0 и 5.1 също е 0.5 (50%)

-Знае се, че няма клечки за мач, които имат дължина между 5,0 и 5,2. Вероятност: нула (0%).

Вероятност за намиране на клечка за зъби в определен диапазон

Сега нека наблюдаваме следните вероятности P за получаване на пръчки, чиято дължина е между l ₁ и l ₂:

-P, че даден мач е с дължина между 5,00 и 5,05, се обозначава като P ():

-P, че хълмът е с дължина между 5,00 и 5,01 е:

-P, че хълмът е с дължина между 5000 и 5 001 е още по-малък:

Ако продължим да намаляваме интервала, за да се приближаваме и приближаваме до 5,00, вероятността клечка за зъби да е точно 5,00 см е нула (0%). Това, което имаме, е вероятността да намерим съвпадение в определен диапазон.

Вероятност за намиране на множество клечки за зъби в даден диапазон

Ако събитията са независими, вероятността две клечки за зъби да са в определен диапазон е продукт на техните вероятности.

-Вероятността две пръчици да са между 5,0 и 5,1 е 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Вероятността 50 клечки за зъби да са между 5,0 и 5,1 е (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, тоест почти нула.

-Вероятността 50 клечки за зъби да са между 4,9 и 5,1 е (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Упражнение 2 на вероятностите

В предишния пример беше направено предположението, че вероятността е еднаква в дадения интервал, но това не винаги е така.

В случай на действителната машина, която произвежда клечки за зъби, вероятността клечката за зъби да е в централната стойност е по-голяма, отколкото е при една от крайните стойности. От математическа гледна точка това се моделира с функция f (x), известна като плътност на вероятността.

Вероятността, че мярката L е между a и b, се изчислява с помощта на определения интеграл на функцията f (x) между a и b.

Като пример, да предположим, че искаме да намерим функцията f (x), която представлява равномерно разпределение между стойностите 4.9 и 5.1 от упражнение 1.

Ако разпределението на вероятността е равномерно, тогава f (x) е равно на константата c, която се определя чрез вземане на интеграла между 4.9 и 5.1 от c. Тъй като този интеграл е вероятността, тогава резултатът трябва да е 1.

Фигура 2. Еднообразна плътност на вероятностите. (Собствена разработка)

Което означава, че с е на стойност 1 / 0,2 = 5. Тоест, функцията за равномерна плътност на вероятностите е f (x) = {5, ако 4.9≤x≤5.1 и 0 извън този диапазон. Една равномерна функция на плътността на вероятностите е показана на фигура 2.

Обърнете внимание как в интервали с една и съща ширина (например 0,02) вероятността е същата в центъра като в края на диапазона на непрекъснатата променлива L (дължина на клечка за зъби).

По-реалистичен модел би била функция на плътност на вероятностите като следното:

Фигура 3. Нееднородна функция на плътността на вероятностите. (Собствена разработка)

На фигура 3 може да се види как вероятността за намиране на клечки за зъби между 4,99 и 5,01 (ширина 0,02) е по-голяма от тази на намирането на клечки за зъби между 4,90 и 4,92 (ширина 0,02)

Препратки

1. Динов, Иво. Дискретни случайни променливи и вероятностни разпределения. Извлечено от: stat.ucla.edu
2. Дискретни и непрекъснати случайни променливи. Извлечено от: ocw.mit.edu
3. Дискретни случайни променливи и вероятностни разпределения. Извлечено от: homepage.divms.uiowa.edu
4. Х. Пишро. Въведение в вероятността. Възстановени от: вероятност курс.com
5. Mendenhall, W. 1978. Статистика за управление и икономика. Grupo Редакция Iberoamericana. 103-106.
6. Проблеми със случайни променливи и вероятностни модели. Възстановени от: ugr.es.
7. Wikipedia. Непрекъсната променлива. Възстановено от wikipedia.com
8. Wikipedia. Променлива статистика. Възстановено от wikipedia.com.