ДИРЕКТОРСКИ ВЕКТОР: УРАВНЕНИЕ НА ЛИНИЯТА, РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

Под режисов вектор се разбира този, който определя посоката на една линия, или в равнината, или в пространството. Следователно, вектор, успореден на линията, може да се разглежда като насочващ вектор от него.

Това е възможно благодарение на аксиома на евклидовата геометрия, която казва, че две точки определят линия. Тогава ориентираният сегмент, образуван от тези две точки, също така определя директорен вектор на споменатата линия.

Фигура 1. Директорски вектор на линия. (Собствена разработка)

Като се има предвид точка P, принадлежаща на линията (L) и даден директен вектор u на тази линия, линията е напълно определена.

Уравнение на линията и режиса на вектора

Фигура 2. Уравнение на линията и директорния вектор. (Собствена разработка)

Като се има предвид точка P от координати P: (Xo, I) и вектор u директор на права (L), всяка точка Q на координатите Q: (X, Y) трябва да отговаря, че векторът PQ е успореден на u. Това последно условие е гарантирано, ако PQ е пропорционален на u:

PQ = t⋅ u

в горния израз t е параметър, който принадлежи на реалните числа.

Ако декартовите компоненти на PQ и u се запишат, горното уравнение се записва, както следва:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Ако компонентите на векторното равенство са изравнени, се получава следната двойка уравнения:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Параметрично уравнение на линията

Координатите X и Y на точка, принадлежаща на линията (L), която преминава през координатна точка (Xo, Yo) и е успоредна на вектора на режима u = (a, b), се определят чрез присвояване на реални стойности на променливия параметър t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Пример 1

За да илюстрираме значението на параметричното уравнение на линията, ние вземаме като направляващ вектор

u = (a, b) = (2, -1)

и като известна точка на линията, точката

P = (Xo, I) = (1, 5).

Параметричното уравнение на линията е:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

За да се илюстрира значението на това уравнение, е показана фигура 3, където параметърът t променя стойността си и точката Q на координатите (X, Y) заема различни позиции на линията.

Фигура 3. PQ = t u. (Собствена разработка)

Линията във векторна форма

Като се има предвид точка P на линията и нейния директивен вектор u, уравнението на линията може да бъде записано във векторна форма:

OQ = OP + λ⋅ u

В горното уравнение Q е всяка точка, но принадлежи на права и λ е реално число.

Векторното уравнение на линията е приложимо за произволен брой измерения, дори може да се определи хипер-линия.

В триизмерния случай за директен вектор u = (a, b, c) и точка P = (Xo, Yo, Zo) координатите на родова точка Q = (X, Y, Z), принадлежаща на линията, е:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Пример 2

Помислете отново линията, която има като насочващ вектор

u = (a, b) = (2, -1)

и като известна точка на линията, точката

P = (Xo, I) = (1, 5).

Векторното уравнение на споменатата линия е:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Непрекъсната форма на линията и режиса на вектора

Изхождайки от параметричната форма, изчиствайки и приравнявайки параметъра λ, имаме:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Това е симетричната форма на уравнението на линията. Обърнете внимание, че a, b и c са компонентите на директорния вектор.

Пример 3

Разгледайте линията, която има като насочващ вектор

u = (a, b) = (2, -1)

и като известна точка на линията, точката

P = (Xo, I) = (1, 5). Намерете симетричната му форма.

Симетричната или непрекъсната форма на линията е:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Обща форма на уравнението на линията

Общата форма на линията в равнината XY е известна като уравнението, което има следната структура:

A⋅X + B⋅Y = C

Изразът за симетричната форма може да бъде пренаписан, за да има общата форма:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

сравнявайки се с общата форма на линията

A = b, B = -a и C = b⋅Xo - a⋅Yo

Пример 3

Намерете общата форма на линията, чийто вектор на директора е u = (2, -1)

и това преминава през точката P = (1, 5).

За да намерим общата форма, можем да използваме дадените формули, но ще бъде избран алтернативен път.

Започваме с намирането на двойния вектор w на директорния вектор u, дефиниран като вектор, получен чрез обмен на компонентите на u и умножаване на втория по -1:

w = (-1, -2)

двойният вектор w съответства на въртене на 90 ° по посока на часовниковата стрелка на директора вектор v.

Скаларно умножаваме w с (X, Y) и с (Xo, Yo) и поставяме равно:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

остава най-накрая:

X + 2Y = 11

Стандартна форма на уравнението на линията

Известна е като стандартната форма на линията в равнината XY, която има следната структура:

Y = m⋅X + d

където m представлява наклона и d пресечката с оста Y.

Предвид вектора на посоката u = (a, b), наклонът m е b / a.

Y d се получава чрез заместване на X и Y за известната точка Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Накратко, m = b / a и d = I - (b / a) Xo

Обърнете внимание, че наклонът m е коефициентът между компонентата y на директорния вектор и x компонента на него.

Пример 4

Намерете стандартната форма на линията, чийто вектор на директора е u = (2, -1)

и това преминава през точката P = (1, 5).

m = -½ и d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Решени упражнения

-Упражнение 1

Намерете директен вектор на линията (L), която е пресечната точка на равнината (Π): X - Y + Z = 3 и равнината (Ω): 2X + Y = 1.

След това напишете непрекъснатата форма на уравнението на линията (L).

Решение

От уравнението на равнината (Ω) хлабина Y: Y = 1 -2X

Тогава заместваме в уравнението на равнината (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

След това параметризираме X, избираме параметризацията X = λ

Това означава, че линията има векторно уравнение, дадено от:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

които могат да бъдат пренаписани като:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

с което е ясно, че векторът u = (1, -2, -3) е насочващ вектор на линията (L).

Непрекъснатата форма на линията (L) е:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Упражнение 2

Като се има предвид равнината 5X + a Y + 4Z = 5

и линията, чието уравнение е X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Определете стойността на такова, че равнината и линията са успоредни.

Решение 2

Вектор n = (5, a, 4) е вектор, нормален за равнината.

Векторът u = (1, 3, -2) е насочващ вектор на линията.

Ако линията е успоредна на равнината, тогава n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Препратки

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Математика на прекалкула. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. (2006). Линейна алгебра. Pearson Education.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналитична геометрия. Мерида - Венецуела: Редакция Венезолана Калифорния
4. Наваро, Росио. Вектори. Възстановени от: books.google.co.ve.
5. Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Основни понятия на геометрията. Rowman & Littlefield.
7. Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.