ВЕКТОРИ В КОСМОСА: КАК ДА ГРАФИКА, ПРИЛОЖЕНИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

А вектор в пространството е всичко, което представлява от координатна система, дадена от X, Y и Z. През повечето време равнината xy е хоризонталната повърхностна равнина, а оста z представлява височината (или дълбочината).

Декартовите координатни оси, показани на фигура 1, разделят пространството на 8 области, наречени октанти, аналогично на това как осите x - y разделят равнината на 4 квадранта. След това ще имаме 1-ви октант, 2-ри октант и така нататък.

Фигура 1. Вектор в пространството. Източник: самостоятелно направен.

Фигура 1 съдържа представяне на вектор v в пространството. Необходима е известна перспектива, за да се създаде илюзията за три измерения в равнината на екрана, което се постига чрез начертаване на коса гледка.

За да начертаете 3D вектор, трябва да използвате пунктирани линии, които определят върху мрежата координатите на проекцията или "сянката" на v върху повърхността на xy. Тази проекция започва в O и завършва в зелената точка.

След като стигнете там, трябва да продължите по вертикалата до необходимата височина (или дълбочина) според стойността на z, докато стигнете до P. Векторът се изчертава, като започва от O и завършва на P, което в примера е в 1-ви октант.

Приложения

Векторите в космоса са широко използвани в механиката и други отрасли на физиката и техниката, тъй като структурите, които ни заобикалят, изискват геометрия в три измерения.

Векторите за позициониране в пространството се използват за позициониране на обекти по отношение на референтна точка, наречена първоначално ИЛИ, поради което те също са необходими инструменти в навигацията, но това не е всичко.

Силите, действащи върху конструкции като болтове, скоби, кабели, подпори и други, са векторни по природа и са ориентирани в пространството. За да се знае ефектът от него, е необходимо да се знае неговият адрес (а също и неговата точка на приложение).

И често посоката на сила е известна чрез познаване на две точки в пространството, които принадлежат към нейната линия на действие. По този начин силата е:

F = F u

Когато F е величината или величината на силата и ф е единица вектор (модул 1), насочена по линията на действие F.

Нотация и 3D векторни представи

Преди да продължим с решаването на някои примери, накратко ще разгледаме 3D векторната нотация.

В примера на фигура 1, векторът v, чиято точка на начало съвпада с начала O и чийто край е точка P, има положителни xyz координати, докато y координатата е отрицателна. Тези координати са: x ₁, y ₁, z ₁, които са точно координатите на P.

Така че, ако имаме вектор, свързан с произхода, тоест чиято начална точка съвпада с O, е много лесно да се посочат координатите му, които ще бъдат тези на крайната точка или P. За да разграничим точка и вектор, ще използваме за последните удебелени букви и скоби, като това:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Докато точката P се обозначава с скоби:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Друго представяне използва единичните вектори i, j и k, които определят трите посоки на пространството на осите x, y и z съответно.

Тези вектори са перпендикулярни един на друг и образуват ортонормална основа (виж фигура 2). Това означава, че 3D вектор може да бъде написан по отношение на тях като:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Ъгли и режисьорни косинуси на вектор

Фигура 2 показва също ъглите на директора γ ₁, γ ₂ и γ _3, които вектор v прави съответно с осите x, y и z. Познавайки тези ъгли и величината на вектора, той е напълно определен. В допълнение, косинусите на режисьорските ъгли отговарят на следната връзка:

(cos γ ₁) ² + (cos γ ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

Фигура 2. Единичните вектори i, j и k определят 3 предпочитани направления на пространството. Източник: самостоятелно направен.

Решени упражнения

-Упражнение 1

На фигура 2 ъглите γ ₁, γ ₂ и γ _3, които векторът v от модул 50 образува с координатните оси са съответно: 75.0º, 60.0º и 34.3º. Намерете декартовите компоненти на този вектор и го представете по отношение на единичните вектори i, j и k.

Решение

Проекцията на вектора v върху оста _x е v _x = 50. cos 75º = 12 941. По същия начин проекцията на v върху оста y е v _y = 50 cos 60 º = 25 и накрая върху оста z е v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Сега v може да се изрази като:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Упражнение 2

Намерете напрежението във всеки от кабелите, които държат кофата на фигурата, която е в равновесие, ако теглото му е 30 N.

Фигура 3. Стресова диаграма за упражнение 2.

Решение

На кофата диаграмата за свободно тяло показва, че T _D (зелено) компенсира теглото W (жълто), следователно T _D = W = 30 N.

В възела векторът T _D е насочен вертикално надолу, след това:

T _D = 30 (- k) N.

За да установите останалите напрежения, изпълнете следните стъпки:

Стъпка 1: Намерете координатите на всички точки

A = (4,5,0,3) (A е в равнината на стената xz)

B = (1,5,0,0) (B е на оста x)

C = (0, 2,5, 3) (C е в равнината на стената и z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D е в хоризонталната равнина xy)

Стъпка 2: Намерете векторите във всяка посока, като извадите координатите на края и началото

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1.5; един; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Стъпка 3: Изчислете модули и единични вектори

Единичен вектор се получава с помощта на израза: u = r / r, като r (с удебелен шрифт) е вектор, а r (без удебелен шрифт) е модулът на посочения вектор.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; един; 3> 3,5 = <-0,43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -он; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Стъпка 4: Изразете всички напрежения като вектори

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -он; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Стъпка 5: Приложете състоянието на статичното равновесие и решете системата от уравнения

И накрая, условието за статично равновесие се прилага към кофата, така че векторната сума на всички сили върху възела е нула:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Тъй като напреженията са в пространството, това ще доведе до система от три уравнения за всеки компонент (x, y и z) на напреженията.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Решението е: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Препратки

1. Бедфорд, 2000. А. Инженерна механика: статистика. Адисън Уесли. 38-52.
2. Figueroa, D. Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
3. Физическа. Модул 8: Вектори. Възстановено от: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Механика за инженери. статичен 6-то издание. Издателска компания Continental. 15-53.
5. Вектор Калкулатор за добавяне Възстановено от: 1728.org