На свободните вектори са тези, които са напълно определен от нейната величина, посока и смисъл, без да е необходимо да се посочи една точка на приложение или конкретен произход.
Тъй като безкрайните вектори могат да бъдат очертани по този начин, свободният вектор не е едно цяло, а набор от паралелни и еднакви вектори, които са независими от мястото, където са.
Фигура 1. Различни свободни вектори. Източник: самостоятелно направен.
Да речем, че имаме няколко вектора с магнитуд 3, насочени вертикално нагоре, или с магнитуд 5 и наклонени надясно, както е на фигура 1.
Нито един от тези вектори не се прилага конкретно във всеки един момент. Тогава всеки от сините или зелените вектори е представител на съответната група, тъй като техните характеристики - модул, посока и смисъл - изобщо не се променят, когато се прехвърлят на друго място в равнината.
Свободният вектор обикновено се обозначава в печатен текст с удебелена малка буква, например v. Или с малка буква и стрелка над нея, ако е ръкописен текст .
Предимството, което имат свободните вектори, е, че те могат да бъдат преместени през равнината или през пространството и да запазят свойствата си, тъй като всеки представител на комплекта е еднакво валиден.
Ето защо във физиката и механиката те се използват често. Например, за да се посочи линейната скорост на твърдото тяло, което се превежда, не е необходимо да се избира конкретна точка върху обекта. Така векторът на скоростта се държи като свободен вектор.
Друг пример за свободен вектор е двойката сили. Двойка се състои от две сили с еднаква величина и посока, но от противоположни посоки, приложени в различни точки върху твърдо вещество. Ефектът от двойката не е да премести обекта, а да предизвика въртене благодарение на произведения момент.
Фигура 2 показва няколко сили, приложени към волана. Чрез силите F 1 и F 2 се създава въртящият момент, който върти маховика около центъра му и по посока на часовниковата стрелка.
Фигура 2. Няколко сили, приложени към волана, му придават завъртане по посока на часовниковата стрелка. Източник: Биеласко.
Можете да направите някои промени в въртящия момент и все пак да получите същия въртящ ефект, например увеличаване на силата, но намаляване на разстоянието между тях. Или поддържайте силата и разстоянието, но прилагайте въртящия момент върху друга двойка точки на волана, тоест завъртете въртящия момент около центъра.
Моментът на двойката или просто двойката е вектор, чийто модул е Fd и е насочен перпендикулярно на равнината на маховика. В примера, показан по конвенция, въртенето по посока на часовниковата стрелка има отрицателна посока.
Свойства и характеристики
За разлика от свободния вектор v, векторите AB и CD са фиксирани (виж фигура 3), тъй като имат определена начална точка и точка на пристигане. Но тъй като те са податливи на екип помежду си и на свой ред с вектора v, те са представителни за свободния вектор v.
Фигура 3. Безплатни вектори, екипни вектори на обективи и фиксирани вектори. Източник: самостоятелно направен.
Основните свойства на безплатните вектори са следните:
-Всеки AB (виж фигура 2) е, както беше казано, представител на свободния вектор v.
-Модулът, посоката и смисълът са еднакви във всеки представител на свободния вектор. На фигура 2, векторите AB и CD представят свободния вектор v и са екипирани.
-Поставете точка P в пространството, винаги е възможно да се намери представител на свободния вектор v, чийто произход е в P и този представител е уникален. Това е най-важното свойство на безплатните вектори и това, което ги прави толкова универсални.
-Нов свободен вектор се обозначава като 0 и е набор от всички вектори, които нямат величина, посока и усет.
-Ако вектор AB представлява свободния вектор v, тогава вектор BA представлява свободния вектор - v.
-Записанието V 3 ще се използва за обозначаване на множеството от всички свободни вектори в пространството, а V 2 за обозначаване на всички свободни вектори в равнината.
Решени упражнения
С безплатни вектори могат да се извършват следните операции:
-Sum
-Subtraction
-Умножение на скалар чрез вектор
-Скален продукт между два вектора.
-Кръстосан продукт между два вектора
-Линейна комбинация от вектори
И още.
-Упражнение 1
Студент се опитва да преплува от една точка на брега на река до друга, която е точно противоположна. За да постигне това, той плува директно със скорост 6 км / ч, в перпендикулярна посока, но токът има скорост от 4 км / ч, която го отклонява.
Изчислете резултатната скорост на плувца и колко той се отклонява от тока.
Решение
Получената скорост на плувеца е векторната сума на неговата скорост (по отношение на реката, изтеглена вертикално нагоре) и скоростта на реката (изтеглена отляво надясно), която се извършва, както е посочено на фигурата по-долу:
Величината на получената скорост съответства на показаната хипотенуза на десния триъгълник, следователно:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / h = 7.2 km / h
Посоката може да бъде изчислена по ъгъла спрямо перпендикуляра на брега:
α = arctg (4/6) = 33,7º или 56,3º по отношение на брега.
Упражнение 2
Намерете момента на двойката сили, показан на фигурата:
Решение
Моментът се изчислява по:
M = r x F
Единиците на момента са lb-f.ft. Тъй като двойката е в равнината на екрана, моментът е насочен перпендикулярно на него, или навън, или навътре.
Тъй като въртящият момент в примера има тенденция да върти обекта, върху който е приложен (което не е показано на фигурата) по посока на часовниковата стрелка, този момент се счита за насочен към екрана и с отрицателен знак.
Величината на момента е M = Fdsen a, където a е ъгълът между силата и вектора r. Трябва да изберете точка по отношение на която да изчислите момента, който е свободен вектор. Избира се произходът на референтната система, следователно r преминава от O до точката на прилагане на всяка сила.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. крак
Нетният момент е сумата от M 1 и M 2: -17329.5 lb-f. крак.
Препратки
- Beardon, T. 2011. Въведение към векторите. Възстановено от: nrich.maths.org.
- Бедфорд, 2000. А. Инженерна механика: статистика. Адисън Уесли. 38-52.
- Figueroa, D. Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
- Физическа. Модул 8: Вектори. Възстановено от: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Механика за инженери. статичен 6-то издание. Издателска компания Continental. 15-53.
- Вектор Калкулатор за добавяне Възстановено от: 1728.org
- Вектори. Възстановено от: en.wikibooks.org