НЕКОПЛАНАЛНИ ВЕКТОРИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, УСЛОВИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На които не - векторите в една равнина са тези, които не споделят една и съща равнина. Два свободни вектора и точка определят една равнина. Трети вектор може или не може да споделя тази равнина и ако това не стане, те са некопланални вектори.

Некопланарните вектори не могат да бъдат представени в двумерни пространства като дъска или лист хартия, защото някои от тях се съдържат в третото измерение. За да ги представите правилно, трябва да използвате перспектива.

Фигура 1. Копланарни и некопланарни вектори. (Собствена разработка)

Ако погледнем фигура 1, всички показани обекти са строго в равнината на екрана, но благодарение на перспективата мозъкът ни е в състояние да си представи равнина (P), която излиза от нея.

В тази равнина (P) са векторите r, s, u, докато векторите v и w не са в тази равнина.

Следователно векторите r, s, u са копланарни или копланарни един към друг, тъй като споделят една и съща равнина (P). Векторите v и w не споделят равнина с нито един от другите показани вектори, следователно те са не копланарни.

Копланарни вектори и уравнение на равнината

Една равнина е определена еднозначно, ако в триизмерно пространство има три точки.

Да предположим, че тези три точки са точка A, точка B и точка C, които определят равнината (P). С тези точки е възможно да се конструират два вектора AB = u и AC = v, които са по строеж копланарни с равнината (P).

Векторният продукт (или напречен продукт) на тези два вектора води до трети вектор перпендикулярно (или нормално) на двата и следователно перпендикулярно на равнината (P):

n = u X v => n ⊥ u и n ⊥ v => n ⊥ (P)

Всяка друга точка, която принадлежи на равнината (P), трябва да удовлетвори, че векторът AQ е перпендикулярен на вектора n; Това е еквивалентно на казаното, че точков продукт (или точков продукт) от n с AQ трябва да бъде нула:

n • AQ = 0 (*)

Предишното условие е еквивалентно на това, че:

AQ • (u X v) = 0

Това уравнение гарантира, че точка Q принадлежи на равнината (P).

Декартово уравнение на равнината

Горното уравнение може да бъде записано в декартова форма. За целта пишем координатите на точките A, Q и компонентите на нормалния вектор n:

Така че компонентите на AQ са:

Условието вектор AQ да се съдържа в равнината (P) е условието (*), което сега се записва така:

Изчисляването на точният продукт остава:

Ако е разработена и пренаредена, остава:

Предишният израз е декартово уравнение на равнина (P), като функция на компонентите на вектор, нормален за (P), и координатите на точка A, която принадлежи на (P).

Условия три вектора да не са копланарни

Както се вижда в предишния раздел, условието AQ • (u X v) = 0 гарантира, че векторът AQ е копланарен на u и v.

Ако наречем вектора AQ w, тогава можем да потвърдим, че:

w, u и v са копланарни, ако и само ако w • (u X v) = 0.

Условие, което не е копланарност

Ако тройният продукт (или смесен продукт) от три вектора е различен от нула, тези три вектора са не копланарни.

Ако w • (u X v) ≠ 0, тогава векторите u, v и w са некопланарни.

Ако детерминиращите компоненти на векторите u, v и w се въведат, условието за не-копланарност може да бъде записано така:

Тройният продукт има геометрична интерпретация и представлява обема на паралелепипеда, генериран от трите не-копланарни вектора.

Фигура 2. Три не-копланарни вектора определят паралелепипед, чийто обем е модулът на тройния продукт. (Собствена разработка)

Причината е следната; Когато два от не-копланарните вектори се умножат векториално, се получава вектор, чиято величина е площта на паралелограма, който те генерират.

Тогава, когато този вектор скаларно се умножава по третия не-копланарен вектор, това, което имаме, е проекцията към вектор, перпендикулярен на равнината, който първите два определят, умножен по площта, която те определят.

С други думи, имаме площта на паралелограма, генерирана от първите два, умножена по височината на третия вектор.

Алтернативно условие за некопланарност

Ако имате три вектора и никой от тях не може да бъде записан като линейна комбинация от другите два, тогава трите вектора са некопланарни. Тоест три вектора u, v и w са некопланарни, ако условието:

α u + β v + γ w = 0

Той е удовлетворен само когато α = 0, β = 0 и γ = 0.

Решени упражнения

-Упражнение 1

Има три вектора

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) и w = (-1, 2, z)

Обърнете внимание, че z компонентът на вектора w е неизвестен.

Намерете диапазона от стойности, който z може да приеме, така че трите вектора да са сигурни, че не споделят една и съща равнина.

Решение

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Задаваме този израз равен на стойността нула

21 z + 18 = 0

и решаваме за z

z = -18 / 21 = -6/7

Ако променливата z прие стойността -6/7, то трите вектора биха били копланарни.

Значи стойностите на z, които гарантират, че векторите не са копланарни, са тези в следния интервал:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Упражнение 2

Намерете обема на паралелепипеда, показан на следната фигура:

Решение

За да се намери обемът на паралелепипеда, показан на фигурата, ще бъдат определени декартовите компоненти на три едновременни не-копланарни вектора в началото на координатната система. Първият е векторът u от 4m и успореден на оста X:

u = (4, 0, 0) m

Вторият е векторът v в равнината на XY с размер 3m, който образува 60º с оста X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

И третият е 5m вектор w, чиято проекция в равнината XY образува 60º с оста X, а w образува 30º с оста Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

След като се извършат изчисленията, имаме: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Препратки

1. Figueroa, D. Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физическа. Модул 8: Вектори. Възстановено от: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Механика за инженери. статичен 6-то издание. Континентална издателска компания. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Механика за инженери: статика и динамика. 3-то издание. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Възстановено от: es.wikipedia.org