- Произход и история
- Аристотел
- Какво изучава математическата логика?
- Предложения
- Таблици за истината
- Видове математическа логика
- Области
- Препратки
В математическата логика или символична логика е математически език, който покрива средствата, чрез които може да се потвърждават или отричат математическо мислене.
Известно е, че в математиката няма неясноти. Като се има предвид математически аргумент, той е или валиден, или просто не е. Не може да бъде едновременно невярно и вярно.
Специфичен аспект на математиката е, че тя има формален и строг език, чрез който може да се определи валидността на аргумента. Кое е това, което прави дадени разсъждения или някакво математическо доказателство неопровержимо? За това е математическата логика.
По този начин логиката е дисциплината на математиката, която е отговорна за изучаването на математически разсъждения и доказателства и предоставя инструментите, за да може да се направи правилен извод от предишни твърдения или предложения.
За целта се използват аксиоми и други математически аспекти, които ще бъдат разработени по-късно.
Произход и история
Точните дати по отношение на много аспекти на математическата логика са несигурни. Повечето от библиографиите по темата обаче проследяват произхода му от древна Гърция.
Аристотел
Началото на строгото третиране на логиката се дължи отчасти на Аристотел, който написал набор от трудове по логика, които по-късно са били съставени и разработени от различни философи и учени до Средновековието. Това може да се счита за „старата логика“.
По-късно, в това, което е известно като съвременната епоха, Лайбниц, раздвижен от дълбоко желание да установи универсален език, който да разсъждава математически, и други математици, като Готлоб Фреге и Джузепе Пеано, оказваха значително влияние върху развитието на математическата логика с голям принос, сред тях и аксиомите на Пеано, които формулират незаменими свойства на естествените числа.
Математиците Джордж Бул и Георг Кантор също са имали голямо влияние по това време, с важен принос в таблиците на теорията на множествата и истината, изтъквайки, наред с други аспекти, Булева алгебра (от Джордж Бул) и Аксиома на избора (от Джордж Кантор).
Има и Август Де Морган с добре известните закони на Морган, които обмислят отрицания, връзки, дизюнкции и условности между предложенията, ключове за развитието на символичната логика и Джон Вен с известните диаграми на Вен.
През 20-ти век, приблизително между 1910 и 1913 г., Бертран Ръсел и Алфред Норт Уайтхед се открояват с публикуването си на Principia mathematica, набор от книги, който събира, разработва и постулира поредица от аксиоми и резултати от логиката.
Какво изучава математическата логика?
Предложения
Математическата логика започва с изучаването на предложенията. Предложението е твърдение, че без неяснота можете да кажете дали е вярно или не. Следват примери за предложения:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- През 1930 г. в Европа имаше земетресение.
Първото е вярно твърдение, а второто е невярно твърдение. Третото, въпреки че човекът, който го чете, може да не знае дали е вярно или незабавно, е твърдение, което може да бъде тествано и определено дали наистина е станало или не.
Следват примери за изрази, които не са предложения:
- Тя е руса.
- 2x = 6.
- Хайде да играем!
- Харесваш ли филми
В първото предложение не е уточнено кой е „тя“, следователно нищо не може да бъде потвърдено. Във второто предложение какво представлява "x" не е уточнено. Ако вместо това беше казано, че 2x = 6 за някакво естествено число x, в този случай това би съответствало на предложение, всъщност вярно, тъй като за x = 3 е изпълнено.
Последните две твърдения не съответстват на предложение, тъй като няма начин да ги отрекат или потвърдят.
Две или повече предложения могат да бъдат комбинирани (или свързани), като се използват добре познати логически съединители (или конектори). Това са:
- Отричане: "Не вали."
- Разграничение: "Луиза купи бяла или сива чанта."
- Съединение: "4 2 = 16 и 2 × 5 = 10".
- Условно: "Ако вали, тогава днес няма да ходя на фитнес."
- Двустранно: "Отивам на фитнес този следобед, ако и само ако не вали."
Предложение, което няма нито един от предишните съединители, се нарича просто (или атомно) предложение. Например „2 е по-малко от 4“ е просто предложение. Предложенията, които имат някои съединителни, се наричат сложни предложения, като "1 + 3 = 4 и 4 е четно число".
Изявленията, направени чрез предложения, обикновено са дълги, така че е досадно винаги да ги пишете, както се вижда досега. Поради тази причина се използва символичен език. Предложенията обикновено са представени с главни букви като P, Q, R, S и т.н. И символичните съединители, както следва:
Така че
В обратния случай на условно предложение
е предложението
И контрареципрочната (или противоположната) на предложението
е предложението
Таблици за истината
Друга важна концепция в логиката е тази на таблиците за истина. Стойностите на истинността на предложение са двете възможности за предложение: true (което ще бъде обозначено с V и ще се каже, че неговата стойност на истинността е V) или false (което ще бъде обозначено с F и ще се каже, че неговата стойност наистина е F).
Стойността на истинността на сложното предложение зависи изключително от стойностите на истинността на простите предложения, които се появяват в него.
За да работим по по-общ начин, няма да разглеждаме конкретни предложения, а променливи променливи p, q, r, s и т.н., които ще представляват всякакви предложения.
С тези променливи и логическите съединители се формират добре познатите формулировки на предложенията, точно както се изграждат сложни предложения.
Ако всяка от променливите, които се появяват в формула на предложение, се замени с предложение, се получава сложно предложение.
По-долу са представени таблиците за истинност на логическите съединители:
Има предложения за формули, които получават само стойността V в таблицата си за истинност, тоест последната колона на тяхната таблица за истинност има стойност V. Тези видове формули са известни като тавтологии. Например:
Следва таблицата за истинността на формулата
Казва се, че формула α логично предполага друга формула β, ако α е вярна всеки път, когато β е истина. Тоест, в таблицата за истинност на α и β, редовете, където α има V, β също има V. Ние се интересуваме само от редовете, в които α има стойност V. Обозначението за логическото имплициране е както следва:
Следващата таблица обобщава свойствата на логическото значение:
За две формули за предложения се казва, че са логически еквивалентни, ако техните таблици за истинност са идентични. За изразяване на логическата еквивалентност се използва следната нотация:
Следващите таблици обобщават свойствата на логическата еквивалентност:
Видове математическа логика
Има различни видове логика, особено ако се вземе предвид прагматичната или неформалната логика, която сочи философията, наред с други области.
Що се отнася до математиката, видовете логика могат да бъдат обобщени като:
- Формална или аристотелева логика (древна логика).
- Пропозиционна логика: тя е отговорна за проучването на всичко, свързано с валидността на аргументите и предложенията, използвайки формален и символичен език.
- Символична логика: фокусирана е върху изучаването на множествата и техните свойства, също с формален и символичен език, и е дълбоко свързана с логиката на предложенията.
- Комбинаторна логика: една от най-скоро разработените, включва резултати, които могат да бъдат разработени с помощта на алгоритми.
- Логическо програмиране: използва се в различните пакети и езици за програмиране.
Области
Сред областите, които използват задължително математическата логика при разработването на своите разсъждения и аргументи, се открояват философия, теория на множествата, теория на числата, алгебраична конструктивна математика и езици за програмиране.
Препратки
- Aylwin, CU (2011). Логика, набори и числа. Mérida - Венецуела: Съвет за публикации, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Въведение в теорията на числата. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Основен курс на теорията на числата. Северен университет.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Как да развием математическо логическо разсъждение. Университетско издателство.
- Сарагоса, AC (sf). Теория на числата Редакционно Vision Libros.