ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ЛИНИЯ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

А перпендикулярна линия е тази, която образува ъгъл от 90 ° по отношение на друга линия, крива или повърхност. Обърнете внимание, че когато две линии са перпендикулярни и лежат на една и съща равнина, когато се пресичат, те образуват четири еднакви ъгъла, всеки 90 °.

Ако един от ъглите не е 90 °, се казва, че линиите са коси. Перпендикулярните линии са често срещани в дизайна, архитектурата и строителството, например тръбната мрежа на следното изображение.

Фигура 1. Мрежа от тръби под прав ъгъл и множество перпендикулярни линии. Колко ъгъла от 90 ° могат да бъдат преброени в това изображение? Източник: Piqsels.

Ориентацията на перпендикулярните линии може да бъде разнообразна, като посочените по-долу:

Фигура 2. Перпендикулярни линии на равнината. Източник: Ф. Сапата.

Независимо от позицията, линиите, перпендикулярни една на друга, се разпознават чрез идентифициране на ъгъла между тях като 90 ° с помощта на транспортиращия механизъм.

Обърнете внимание, че за разлика от успоредните линии в равнината, които никога не се пресичат, перпендикулярните линии винаги правят това в точка P, наречена подножието на една от линиите от другата. Следователно две перпендикулярни линии също са секатни.

Всяка линия има безкрайни перпендикуляри към нея, тъй като само като преместим сегмент AB наляво или надясно на сегмент CD, ще имаме нови перпендикуляри с друг крак.

Перпендикулярът, който минава точно през средната точка на сегмент, се нарича бисектриса на този сегмент.

Примери за перпендикулярни линии

Перпендикулярните линии са често срещани в градския пейзаж. На следващото изображение (фигура 3) са откроени само няколко от многото перпендикулярни линии, които могат да се видят в простата фасада на тази сграда и нейните елементи като врати, канали, стъпала и други:

Фигура 3. Има голям брой перпендикулярни линии на фасадата на обща сграда като тази. Източник: Ричард Канг чрез Flickr.

Хубавото е, че три линии, перпендикулярни една на друга, ни помагат да установим местоположението на точки и обекти в пространството. Те са координатните оси, идентифицирани като x-ос, y-ос и z-ос, ясно видими в ъгъла на правоъгълна стая като тази по-долу:

Фигура 4. Декартовата система на осите се състои от три линии, перпендикулярни една на друга, всяка от които има преференциална посока в пространството. Леви кредитни изображения: treybunn 2 чрез Flickr. Правилно изображение; Needpix.

В панорамата на града вдясно се забелязва и перпендикулярността между небостъргача и земята. Първата, която бихме казали, е по оста z, докато земята е равнина, която в случая е равнината xy.

Ако земята представлява равнината xy, небостъргачът също е перпендикулярен на всеки авеню или улица, което гарантира неговата стабилност, тъй като наклонената структура е нестабилна.

А по улиците, където и да има правоъгълни ъгли, има перпендикулярни линии. Много алеи и улици имат перпендикулярно оформление, стига теренът и географските особености да го позволяват.

За да се изрази съкратена перпендикулярност между линии, сегменти или вектори, символът ⊥ се използва. Например, ако линия L ₁ е перпендикулярна на линия L ₂, пишем:

L ₁ ⊥ L ₂

Още примери за перпендикулярни линии

- В дизайна перпендикулярните линии са много, тъй като много общи обекти се основават на квадрати и правоъгълници. Тези четириъгълници се характеризират с вътрешни ъгли 90 °, тъй като страните им са успоредни два на две:

Фигура 5. Квадратите и правоъгълниците са част от много дизайни, като тази обикновена картонена кутия за съхранение на стоки. Източник: Ф. Сапата.

- Полетата, в които се практикуват различни спортове, са обособени от множество площади и правоъгълници. Те от своя страна съдържат перпендикулярни линии.

- Два от сегментите, съставляващи десен триъгълник, са перпендикулярни един на друг. Те се наричат ​​краката, докато останалата линия се нарича хипотенуза.

- Линиите на вектора на електрическото поле са перпендикулярни на повърхността на проводник в електростатично равновесие.

- За зареден проводник, еквипотенциалните линии и повърхности винаги са перпендикулярни на тези на електрическото поле.

- В тръбопроводни или тръбопроводни системи, използвани за транспортиране на различни видове течности, като например газ, който се появява на фигура 1, обикновено е да има лакти под прав ъгъл. Следователно те образуват перпендикулярни линии, такъв е случаят с котелно:

Фигура 6. Тръби в котелно помещение. Източник: Wikimedia Commons. Роджър Маклаус / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Упражнения

- Упражнение 1

Начертайте две перпендикулярни линии с помощта на линийка и компас.

Решение

Това е много просто да се направи, следвайки тези стъпки:

-Първата линия е нарисувана, наречена AB (черна).

-Нагоре (или по-долу, ако предпочитате) AB маркирайте точка P, през която ще премине перпендикулярът. Ако P е точно над (или под) средата на AB, този перпендикуляр е бисектрисата на сегмент AB.

-С компаса, фокусиран върху P, нарисувайте кръг, който прерязва AB в две точки, наречени A 'и B' (червен).

-Компасът се отваря в A'P, той е съсредоточен върху A 'и се очертава обиколка, която преминава през P (зелено).

-Повторете предишната стъпка, но сега отворете мярката на дължината на сегмента B'P (зелен). И двете дъги на обиколката се пресичат в точка Q под P и разбира се в последната.

-Точките P и Q се съединяват с линията и перпендикулярната линия (синя) е готова.

-Накрая, всички спомагателни конструкции трябва да бъдат внимателно изтрити, оставяйки само перпендикулярните.

Фигура 6. Проследяване на перпендикулярни линии с владетел и компас. Източник: Wikimedia Commons.

- Упражнение 2

Две линии L ₁ и L ₂ са перпендикулярни, ако съответните им наклони m ₁ и m ₂ отговарят на това отношение:

m ₁ = -1 / m ₂

Като се има предвид линията y = 5x - 2, намерете права, перпендикулярна на нея и която преминава през точката (-1, 3).

Решение

-Първо е наклонът на перпендикулярната права m _⊥, както е посочено в изявлението. Наклонът на оригиналната права е m = 5, коефициентът, който придружава "x". Така:

m _⊥ = -1/5

-Тогава се изгражда уравнението на перпендикулярната права y _{⊥, заменяйки} предварително намерената стойност:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-На следващо място, стойността на b се определя с помощта на точката, дадена от израза, (-1,3), тъй като перпендикулярната права трябва да минава през нея:

у = 3

x = -1

Заместването:

3 = -1/5 (-1) + b

Решете за стойността на b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Накрая, крайното уравнение се изгражда:

и _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Препратки

1. Балдор, А. 2004. Геометрия на равнината и пространството. Културни публикации.
2. Clemens, S. 2001. Геометрия с приложения и решаване на проблеми. Адисън Уесли.
3. Математиката е забавна. Перпендикулярни линии. Възстановена от: mathisfun.com.
4. Институт Монтерей. Перпендикулярни линии. Възстановено от: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Перпендикулярни линии. Възстановено от: es.wikipedia.org.