ЗАКОНИ НА ЕКСПОНЕНТИТЕ (С ПРИМЕРИ И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ) - МАТЕМАТИКА - 2025

В законите на експонати са тези, които се прилагат за този номер, който показва колко пъти на база брой трябва да се умножи по себе си. Експонентите са известни също като сили. Овластяването е математическа операция, образувана от база (a), експонента (m) и мощност (b), която е резултат от операцията.

Експонентите обикновено се използват, когато се използват много големи количества, тъй като това не е нищо повече от съкращения, които представляват умножението на едно и също число в определен брой пъти. Експонентите могат да бъдат както положителни, така и отрицателни.

Обяснение на законите на експонентите

Както беше посочено по-горе, експонентите са стенограмна форма, която представлява умножаване на числа по себе си многократно, където експонентът се отнася само до числото отляво. Например:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

В този случай числото 2 е основата на силата, която ще бъде умножена 3 пъти, както е показано от експонента, разположена в горния десен ъгъл на основата. Има различни начини за четене на израза: 2 повдигнати на 3 или също 2 повдигнати на куба.

Експонентите също посочват броя пъти, по които могат да бъдат разделени, и за да разграничат тази операция от умножение, експонентът има знак минус (-) пред него (отрицателен е), което означава, че експонентът е в знаменателя на a фракция. Например:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Това не трябва да се бърка със случая, когато основата е отрицателна, тъй като ще зависи дали експонентът е четен или нечетен, за да се определи дали силата ще бъде положителна или отрицателна. Така че трябва да:

- Ако експонентът е равен, силата ще бъде положителна. Например:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ако показателят е нечетен, мощността ще бъде отрицателна. Например:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Има специален случай, в който ако показателят е равен на 0, мощността е равна на 1. Съществува и възможността основата да е 0; в такъв случай, в зависимост от експонента, силата ще бъде неопределена или не.

За да се извършват математически операции с експоненти, е необходимо да се следват няколко правила или норми, които улесняват намирането на решението за тези операции.

Първи закон: сила на експонента равна на 1

Когато показателят е 1, резултатът ще бъде същата стойност на основата: a ¹ = a.

Примери

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Втори закон: мощност на експонента равна на 0

Когато показателят е 0, ако основата е ненулева, резултатът ще бъде: a ⁰ = 1.

Примери

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Трети закон: отрицателен показател

Тъй като exponte е отрицателен, резултатът ще бъде дроб, където силата ще бъде знаменателят. Например, ако m е положителен, тогава a ^-m = 1 / a ^m.

Примери

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Четвърти закон: умножение на правомощията с еднаква основа

За да умножим силите, където основите са равни и различни от 0, основата остава и се добавят експонентите: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Примери

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Пети закон: разделение на властите с еднаква основа

За да се разделят силите, при които основите са равни и различни от 0, базата се запазва и експонентите се изваждат, както следва: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Примери

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(1 - 2)} = 9 ¹.

- 6 ¹⁵ /6 ^{октомври} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 ^{декември} / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Шести закон: умножение на правомощията с различна основа

Този закон има обратното на това, което се изразява в четвъртия; тоест, ако имате различни бази, но с едни и същи експоненти, основите се умножават и експонентът се запазва: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Примери

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Друг начин за представяне на този закон е, когато умножение се издигне до сила. По този начин, експонентът ще принадлежи на всеки от термините: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Примери

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Седми закон: разделение на властите с различна основа

Ако имате различни бази, но с едни и същи показатели, разделете основите и запазете експонента: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Примери

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴.

По подобен начин, когато разделението се повдигне на сила, експонентът ще принадлежи на всеки от термините: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Примери

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Има случай, когато експонентът е отрицателен. Тогава, за да бъде положителна, стойността на числителя се обръща с тази на знаменателя, както следва:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Осми закон: сила на сила

Когато имате мощност, която е повдигната до друга мощност - това е две експоненти едновременно -, базата се поддържа и експонентите се умножават: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Примери

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Девети закон: фракционен показател

Ако силата има част като експонент, това се решава чрез преобразуването й в n-ти корен, където числителят остава като експонент, а знаменателят представлява индекса на корена:

пример

Решени упражнения

Упражнение 1

Изчислете операциите между силите, които имат различни бази:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Решение

Прилагайки правилата на експонентите, основите се умножават в числителя и експонентът се поддържа така:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Сега, тъй като имаме едни и същи бази, но с различни показатели, базата се запазва и експонентите се изваждат:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Упражнение 2

Изчислете операциите между правомощия, натрупани до друга мощност:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Решение

Прилагайки законите, трябва да:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46 656

Препратки

1. Апонте, Г. (1998). Основи на основната математика. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Математиката, прилагана в ежедневието.
3. Jiménez, JR (2009). Математика 1 СЕП.
4. Max Peters, WL (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Рийс, ПК (1986). Реверте.