МОРГАН ЗАКОНИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На л очите на Morgan са правила за извеждане, използвани в Пропозиционални логика, които установяват какво в резултат на отричането на разединяване и комбинация на различни предложения или Пропозиционални променливи. Тези закони бяха определени от математика Август Де Морган.

Законите на Морган представляват много полезен инструмент за доказване на валидността на математическите разсъждения. По-късно те са обобщени в рамките на концепцията за множествата от математика Джордж Бул.

Това обобщение, направено от Бул, е напълно еквивалентно на първоначалните закони на Морган, но е разработено специално за множества, а не за предложения. Това обобщение е известно още като законите на Морган.

Преглед на логиката на предложенията

Преди да разгледаме какво конкретно са законите на Морган и как се използват, е полезно да си спомним някои основни понятия на логиката на предложенията. (За повече подробности вижте статия за логиката на предложенията).

В сферата на математическата (или предложението) логика изводът е заключение, което се издава от набор от предпоставки или хипотези. Този извод, заедно с гореспоменатите предпоставки, поражда това, което е известно като математически разсъждения.

Такива разсъждения трябва да бъдат доказани или отречени; тоест не всички изводи или заключения в математическите разсъждения са валидни.

заблуда

Лъжлив извод, направен от някои хипотези, които се приемат за верни, е известен като заблуда. Грешките имат особеността да са аргументи, които изглеждат правилни, но математически не са.

Пропозиционната логика е точно отговорна за разработването и осигуряването на методи, чрез които е възможно без неяснота да се валидира или опровергае математически разсъждения; тоест, да се направи валиден извод от предпоставки. Тези методи са известни като правила за извод, от които са част законите на Морган.

Предложения

Основните елементи на логиката на предложенията са предложенията. Предложенията са твърдения, за които може да се каже, че са валидни или не, но в същото време не могат да бъдат верни или неверни. Не би трябвало да има неяснота в този въпрос.

Точно както числата могат да се комбинират чрез операциите на събиране, изваждане, умножение и деление, предложенията могат да се управляват с помощта на добре познатите логически съединители (или съединители): отрицание (¬, „не“), разединение (V, “Или”), съвместно (Ʌ, “и”), условно (→, “ако…, тогава…”) и двустранно (↔, “ако и само ако”).

За да работят по-общо, вместо да се разглеждат конкретни предложения, се вземат предвид променливите, които представляват всякакви предложения, и обикновено се означават с малки букви p, q, r, s и т.н.

Формулата за предложения е комбинация от променливи променливи с помощта на някои от логическите съединители. С други думи, това е състав от предложения за променливи. Те обикновено се обозначават с гръцки букви.

Казано е, че формула на предложение логично предполага друга, когато последната е вярна всеки път, когато първата е вярна. Това се обозначава с:

Когато логическото значение между две формули за предложения е реципрочно - тоест, когато предишното импликация е валидно и в обратен смисъл, се казва, че формулите са логически еквивалентни и се означават с

Логическата еквивалентност е вид равенство между формулите на предложението и позволява едната да бъде заменена с другата, когато е необходимо.

Законите на Морган

Законите на Морган се състоят от две логически еквиваленти между две предложения, а именно:

Тези закони позволяват разделяне на отрицанието на дизюнкция или конюнкция, като отрицание на включените променливи.

Първият може да се чете по следния начин: отричането на дизъюнкция е равно на съединението на отрицанията. И вторият се чете така: отричането на конюнкция е разединението на отрицанията.

С други думи, отричането на дизъюнцията на две предложения за променливи е еквивалентно на свързването на отрицанията на двете променливи. По същия начин, отричането на свързването на две предложения за променливи е еквивалентно на дизъюнкцията на отрицанията на двете променливи.

Както бе споменато по-рано, заместване на тази логическа еквивалентност помага да се докажат важни резултати, заедно с другите съществуващи правила за извод. С тях можете да опростите много формули за предложения, така че да бъдат по-полезни за работа.

Следва пример за математическо доказателство, използващо правила за изводи, включително законите на Морган. По-специално е показано, че формулата:

Той е еквивалентен на:

Последното е по-лесно за разбиране и развитие.

демонстрация

Заслужава да се спомене, че валидността на законите на Морган може да бъде доказана математически. Един от начините е чрез сравняване на вашите таблици за истинност.

Комплекти

Същите правила на извода и понятията за логика, прилагани към предложенията, също могат да бъдат разработени, като се имат предвид множествата. Това е това, което е известно като булева алгебра, след математика Джордж Бул.

За да разграничите случаите, е необходимо да промените нотацията и да прехвърлите на множества, всички вече виждани представи за логика на предложението.

Набор е колекция от предмети. Комплектите се означават с главни букви A, B, C, X,… и елементите на набор се означават с малки букви a, b, c, x и т.н. Когато елемент a принадлежи към множество X, той се обозначава с:

Когато не принадлежи на X, обозначението е:

Начинът за представяне на наборите е чрез поставяне на техните елементи вътре в скоби. Например, наборът от естествени числа е представен от:

Наборите също могат да бъдат представени, без да напишат изричен списък на техните елементи. Те могат да бъдат изразени във формата {:}. Дебелото черво се чете „такова, че“. Вляво от двете точки се поставя променлива, която представлява елементите на множеството, а от дясната страна се поставя свойството или състоянието, които те удовлетворяват. Това е:

Например, наборът от цели числа, по-голям от -4, може да се изрази като:

Или еквивалентно и по-съкратено като:

По същия начин, следните изрази представляват съответно множествата нечетни и четни числа:

Съюз, пресечка и допълнения от множества

По-нататък ще видим аналозите на логическите съединители в случай на множества, които са част от основните операции между множествата.

Съюз и пресичане

Съединението и пресечната точка на множествата се определят, съответно, както следва:

Например, помислете за множествата:

Така че, трябва да:

Допълнение

Допълнението на набор се формира от елементите, които не принадлежат към споменатия набор (от същия тип, който представлява оригиналът). Допълнението на набор A, се обозначава с:

Например, в рамките на естествените числа, допълването на множеството четни числа е това на нечетни числа и обратно.

За да се определи допълването на набор, универсалният или главният набор от разглежданите елементи трябва да е ясен от самото начало. Например, не е същото да се разгледа допълнението на набор над естествените числа, както над рационалните числа.

Следващата таблица показва връзката или аналогията между операциите върху предварително дефинираните набори и съединителите на логиката на предложенията:

Законите на Морган за комплекти

И накрая, законите на Морган за множествата са:

С думи: допълнението на един съюз е пресечната точка на допълненията, а допълнението на пресечна точка е обединението на допълненията.

Математическо доказателство за първото равенство ще бъде следното:

Доказателството за второто е аналогично.

Препратки

1. Almaguer, G. (2002). Математика 1. Редакционна лимуза.
2. Aylwin, CU (2011). Логика, набори и числа. Mérida - Венецуела: Съвет за публикации, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Въведение в теорията на числата. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Основен курс на теорията на числата. Северен университет.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Как да развием математическо логическо разсъждение. Университетско издателство.
6. Гевара, MH (втори). Теория на числата. EUNED.
7. Сарагоса, AC (sf). Теория на числата Редакционно Vision Libros.