ВЕКТОРНА АЛГЕБРА: ОСНОВИ, ВЕЛИЧИНИ, ВЕКТОРИ - МАТЕМАТИКА

В алгебра вектор е клон на математиката, които проучвания системи линейни уравнения, вектори, матрици, векторни пространства и линейни трансформации. Той е свързан с области като инженерство, решаване на диференциални уравнения, функционален анализ, проучване на операции, компютърна графика и др.

Друга област, която линейната алгебра е възприела, е физиката, тъй като чрез това е възможно да се развие изследването на физическите явления, описвайки ги чрез използването на вектори. Това направи възможно по-доброто разбиране на Вселената.

Основи

Векторната алгебра произхожда от изследването на кватерниони (разширение на реални числа) 1, i, j и k, както и от декартовата геометрия, популяризирана от Gibbs и Heaviside, които разбраха, че векторите ще служат като инструмент за представляват различни физически явления.

Векторната алгебра се изучава чрез три основи:

геометрично

Векторите са представени с линии, които имат ориентация и операции като събиране, изваждане и умножение по реални числа се определят чрез геометрични методи.

Аналитично

Описанието на векторите и техните операции се извършва с числа, наречени компоненти. Този тип описание е резултат от геометрично представяне, тъй като се използва координатна система.

аксиоматично

Прави се описание на векторите, независимо от координатната система или всеки тип геометрично представяне.

Проучването на фигурите в космоса се извършва чрез тяхното представяне в референтна система, която може да бъде в едно или повече измерения. Сред основните системи са:

- Едномерна система, която е права линия, при която една точка (O) представлява първоизточника, а друга точка (P) определя мащаба (дължината) и посоката му:

- Правоъгълна координатна система (двуизмерна), която е съставена от две перпендикулярни линии, наречени x-ос и y-ос, които преминават през начало на точка (O); по този начин равнината е разделена на четири области, наречени квадранти. В този случай точка (P) в равнината се дава от разстоянията, които съществуват между осите и P.

- Полярна координатна система (двуизмерна). В този случай системата се състои от точка O (начало), която се нарича полюс и лъч с начало в O, наречен полярна ос. В този случай точката Р на равнината, по отношение на полюса и полярната ос, е дадена от ъгъла (Ɵ), който се формира от разстоянието, което съществува между началото и точката P.

- Правоъгълна триизмерна система, образувана от три перпендикулярни линии (x, y, z), чийто произход е точка O в пространството. Образуват се три координатни равнини: xy, xz и yz; пространството ще бъде разделено на осем региона, наречени октанти. Референцията на точка P в пространството се дава от разстоянията, които съществуват между равнините и P.

величини

Величината е физическо количество, което може да бъде преброено или измерено чрез числова стойност, както в случая на някои физически явления; обаче много пъти е необходимо да можем да описваме тези явления с други фактори, различни от числените. Ето защо величините се класифицират в два вида:

Скаларна величина

Те са онези количества, които са дефинирани и представени числено; тоест от модул, заедно с мерна единица. Например:

а) Време: 5 секунди.

б) Маса: 10 кг.

в) Обем: 40 мл.

г) Температура: 40 ºC.

Векторна величина

Те са онези количества, които са определени и представени от модул заедно с единица, както и от усет и посока. Например:

а) Скорост: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

б) Ускорение: 13 m / s ²; S 45º E.

в) сила: 280 N, 120º.

г) Тегло: -40 ĵ kg-f.

Векторните количества са представени графично с вектори.

Какво представляват векторите?

Векторите са графични изображения на векторно количество; това означава, че са линии, в които крайният им край е върхът на стрела.

Те се определят от дължината на модула или сегмента му, посоката му, която се обозначава с върха на стрелката му и посоката му според линията, към която принадлежи. Произходът на вектора е известен също като точка на приложение.

Елементите на вектор са, както следва:

модул

Това е разстоянието от първоизточника до края на вектор, представено с реално число заедно с единица. Например:

-OM- = -A- = A = 6 cm

адрес

Това е мярката на ъгъла, която съществува между оста x (от положителната) и вектора, както и използваните кардинални точки (север, юг, изток и запад).

смисъл

Тя се дава от стрелката, разположена в края на вектора, като посочва накъде отива.

Класификация на векторите

Обикновено векторите се класифицират като:

Фиксиран вектор

Той е този, чиято точка на приложение (произход) е фиксирана; тоест той остава свързан с точка в пространството, така че не може да се движи в него.

Безплатен вектор

Той може да се движи свободно в пространството, защото неговият произход се движи до всяка точка, без да променя модула, посоката или посоката си.

Плъзгач вектор

Той е този, който може да пренесе произхода си по своята линия на действие, без да променя своя модул, посока или посока.

Свойства на векторите

Сред основните свойства на векторите са следните:

Вектори teamlenses

Те са онези свободни вектори, които имат един и същ модул, посока (или те са успоредни) и смисъл като плъзгащ се или фиксиран вектор.

Еквивалентни вектори

Получава се, когато два вектора имат една и съща посока (или са успоредни), един и същ смисъл и въпреки че имат различни модули и точки на приложение, те предизвикват едни и същи ефекти.

Равенство на вектора

Те имат един и същ модул, посока и смисъл, дори когато началните им точки са различни, което позволява паралелен вектор да се превежда, без да го засяга.

Противоположни вектори

Те са тези, които имат един и същ модул и посока, но значението им е противоположно.

Единичен вектор

Той е такъв, в който модулът е равен на единицата (1). Това се получава чрез разделяне на вектора на неговия модул и се използва за определяне на посоката и усещането на вектора, или в равнината, или в пространството, като се използват базовите или нормализираните единични вектори, които са:

Нулев вектор

Той е такъв, чийто модул е равен на 0; тоест неговата точка на произход и край съвпадат в една и съща точка.

Компоненти на вектор

Компонентите на вектора са тези стойности на проекциите на вектора върху осите на референтната система; В зависимост от разлагането на вектора, което може да бъде на две или триизмерни оси, ще се получат съответно два или три компонента.

Компонентите на вектора са реални числа, които могат да бъдат положителни, отрицателни или дори нулеви (0).

По този начин, ако имаме вектор Ā, с произход в правоъгълна координатна система в равнината xy (двуизмерна), проекцията върху оста x е Āx, а проекцията на оста y е Āy. По този начин, векторът ще се изрази като сбор от векторите на неговите компоненти.

Примери

Първи пример

Имаме вектор Ā, който започва от началото и са дадени координатите на неговите краища. Така векторът Ā = (Ā _x, A _y) = (4, 5) cm.

Ако векторът Ā действа в началото на триизмерна триъгълна координатна система (в пространството) x, y, z, до друга точка (P), проекциите върху неговите оси ще бъдат Āx, Āy и Āz; по този начин, векторът ще се изрази като сбор от неговите три компонентни вектора.

Втори пример

Имаме вектор Ā, който започва от началото и са дадени координатите на неговите краища. По този начин, векторът Ā = (A _x, A _y, A _z) = (4, 6, -3) cm.

Векторите, които имат своите правоъгълни координати, могат да бъдат изразени по отношение на техните базови вектори. За това всяка координата трябва да бъде умножена само по съответния единичен вектор по такъв начин, че за равнината и пространството те да бъдат следните:

За равнината: Ā = A _x i + A _y j.

За пространството: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Векторни операции

Има много количества, които имат модул, смисъл и посока, като ускорение, скорост, изместване, сила, наред с други.

Те се прилагат в различни области на науката и за тяхното прилагане е необходимо в някои случаи да се извършват операции като събиране, изваждане, умножение и деление на вектори и скалари.

събиране и изваждане на вектори

Прибавянето и изваждането на векторите се счита за единична алгебрична операция, тъй като изваждането може да се запише като сума; например изваждането на векторите Ā и Ē може да се изрази като:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Има различни методи за извършване на събиране и изваждане на вектори: те могат да бъдат графични или аналитични.

Графични методи

Използва се, когато вектор има модул, посока и посока. За това са начертани линии, които образуват фигура, която по-късно помага да се определи резултата. Сред най-известните са следните:

Метод на паралелограма

За да се направи добавянето или изваждането на два вектора, на координатната ос се избира обща точка, която ще представлява точката на произход на векторите, като запазва своя модул, посока и посока.

След това линиите се изтеглят успоредно на векторите, за да образуват паралелограм. Полученият вектор е диагоналът, който преминава от точката на начало на двата вектора до върха на паралелограма:

Метод на триъгълник

При този метод векторите се поставят един след друг, като запазват своите модули, направления и посоки. Полученият вектор ще бъде съединението на произхода на първия вектор с края на втория вектор:

Аналитични методи

Два или повече вектора могат да бъдат добавени или извадени чрез геометричен или векторен метод:

Геометричен метод

Когато два вектора образуват триъгълник или паралелограм, m).push ({});

- Скаларно разпределително свойство: ако вектор се умножи по сумата от два скалара, то е равно на умножението на вектора за всеки скалар.

Умножение на вектори

Умножението или произведението на вектори би могло да се извърши като събиране или изваждане, но по този начин губи физическия смисъл и почти никога не се намира в приложенията. Поради тази причина най-често използваните видове продукти са скаларен и векторен продукт.

Скаларен продукт

Известен е и като точков продукт на два вектора. Когато модулите на два вектора се умножат по косинуса на най-малкия ъгъл, образуван между тях, се получава скалар. За да се изрази скаларен продукт между два вектора, между тях се поставя точка и това може да се определи като:

Стойността на ъгъла, който съществува между двата вектора, ще зависи от това дали са успоредни или перпендикулярни; по този начин, трябва да:

- Ако векторите са успоредни и имат същия смисъл, косинус 0º = 1.

- Ако векторите са успоредни и имат противоположни посоки, косинус 180º = -1.

- Ако векторите са перпендикулярни, косинус 90º = 0.

Този ъгъл може да се изчисли и като се знае, че:

Точковият продукт има следните свойства:

- Коммутативно свойство: редът на векторите не променя скалара.

-Дистрибутивно свойство: ако скалар се умножи по сумата от два вектора, то е равно на умножението на скалара за всеки вектор.

Вектор продукт

Векторното умножение или пресечен продукт на два вектора А и В, ще доведе до нов вектор С и се изразява чрез кръстоска между векторите:

Новият вектор ще има свои собствени характеристики. По този начин:

- Посоката: този нов вектор ще бъде перпендикулярен на равнината, която се определя от оригиналните вектори.

- Посоката: това се определя с правилото на дясната ръка, където вектор A се завърта към B, като посочва посоката на въртене с пръсти, а посоката на вектора се маркира с палеца.

- Модулът: той се определя от умножението на модулите на векторите AxB, от синуса на най-малкия ъгъл, който съществува между тези вектори. Тя се изразява:

Стойността на ъгъла, който съществува между двата вектора, ще зависи от това дали са успоредни или перпендикулярни. Така че е възможно да се заяви следното:

- Ако векторите са успоредни и имат същия смисъл, синус 0º = 0.

- Ако векторите са успоредни и имат противоположни посоки, синус 180º = 0.

- Ако векторите са перпендикулярни, синус 90º = 1.

Когато векторният продукт се изрази по отношение на неговите базови вектори, имаме: