МЕТОД НА ОЙЛЕР: ЗА КАКВО Е, ПРОЦЕДУРА И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Методът на Ойлер е най-основните и прости процедури, използвани за намиране на числови решения, приблизителни до обикновено диференциално уравнение от първи ред, при условие че е известно началното условие.

Обикновено диференциално уравнение (ODE) е уравнението, което свързва неизвестна функция на единична независима променлива с нейните производни.

Последователни приближения по метода на Ойлер. Източник: Олег Александров

Ако най-голямото производно, което се появява в уравнението, е от степен първа, то това е обикновено диференциално уравнение от първа степен.

Най-общият начин да напишете уравнение от първа степен е:

x = x ₀

y = y ₀

Какъв е методът на Ойлер?

Идеята на метода на Ойлер е да се намери числово решение на диференциалното уравнение в интервала между X ₀ и X _f.

Първо, интервалът е дискретизиран в n + 1 точки:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

Които се получават така:

x _i = x ₀ + ih

Където h е ширината или стъпката на подинтервалите:

С първоначалното условие, тогава е възможно да се знае производната в началото:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Тази производна представлява наклона на допирателната линия към кривата на функцията y (x) точно в точката:

Ao = (x _o, y _o)

Тогава се прави приблизително прогнозиране на стойността на функцията y (x) в следната точка:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

След това е получена следващата приблизителна точка на разтвора, която би отговаряла на:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Процедурата се повтаря, за да се получат последователните точки

A ₂, A ₃ …, x _n

На фигурата, показана в началото, синята крива представлява точното решение на диференциалното уравнение, а червената представлява последователните приблизителни точки, получени по процедурата на Ойлер.

Решени упражнения

Упражнение 1

I) Нека диференциалното уравнение бъде:

С първоначалното условие x = a = 0; и _a = 1

Използвайки метода на Ойлер, вземете приблизително решение на y при координатата X = b = 0.5, като интервалът се разделя на n = 5 части.

Решение

Числените резултати се обобщават, както следва:

От което се прави изводът, че решението Y за стойността 0.5 е 1.4851.

Забележка: Smath Studio, безплатна програма за безплатно използване, е използвана за извършване на изчисленията.

Упражнение 2

II) Продължавайки с диференциалното уравнение от упражнение I), намерете точното решение и го сравнете с резултата, получен по метода на Ойлер. Намерете грешката или разликата между точния и приблизителния резултат.

Решение

Точното решение не е много трудно да се намери. Производното на функцията sin (x) е известно, че е функция cos (x). Следователно решението y (x) ще бъде:

y (x) = sin x + C

За да бъде изпълнено първоначалното условие и (0) = 1, константата C трябва да е равна на 1. Точният резултат се сравнява с приблизителния:

Заключено е, че в изчисления интервал апроксимацията има три значими фигури на точност.

Упражнение 3

III) Разгледайте диференциалното уравнение и неговите първоначални условия, дадени по-долу:

y '(x) = - y ²

С първоначалното условие x ₀ = 0; и ₀ = 1

Използвайте метода на Ойлер, за да намерите приблизителни стойности на разтвора y (x) на интервала x =. Използвайте стъпка h = 0,1.

Решение

Методът на Ойлер е много подходящ за използване с електронна таблица. В този случай ще използваме таблицата с геогебра, безплатна и отворена програма.

Електронната таблица на фигурата показва три колони (A, B, C), първата е променливата x, втората колона представлява променливата y, а третата колона е производната y '.

Ред 2 съдържа началните стойности на X, Y, Y '.

Стойността на етап 0,1 е поставена в клетката за абсолютна позиция ($ D $ 4).

Началната стойност на y0 е в клетка B2, а y1 е в клетка B3. За изчисляване на y ₁ се използва формулата:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Тази формула на електронната таблица ще бъде Число B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

По същия начин y2 би бил в клетка B4 и неговата формула е показана на следната фигура:

Фигурата също показва графиката на точното решение и точките A, B,…, P от приблизителното решение по метода на Ойлер.

Нютонова динамика и метод на Ойлер

Класическата динамика е разработена от Исак Нютон (1643 - 1727). Първоначалната мотивация на Леонард Ойлер (1707 - 1783) да разработи своя метод, беше именно да реши уравнението на втория закон на Нютон в различни физически ситуации.

Вторият закон на Нютон обикновено се изразява като диференциално уравнение на втора степен:

Където х представлява позицията на обект във време t. Споменатият обект има маса m и е подложен на сила F. Функцията f е свързана със сила и маса, както следва:

За да се приложи методът на Ойлер, са необходими първоначалните стойности на време t, скорост v и позиция x.

Следващата таблица обяснява как като се започне от началните стойности t1, v1, x1, може да се получи приблизително приближение на скоростта v2 и позицията x2, в момента t2 = t1 + Δt, където Δt представлява малко увеличение и съответства на стъпката в метода на Ойлер.

Упражнение 4

IV) Един от основните проблеми в механиката е на блок с маса M, свързан към пружина (или пружина) с еластична константа K.

Вторият закон на Нютон за този проблем ще изглежда така:

В този пример за простота ще вземем M = 1 и K = 1. Намерете приблизителни решения на позицията x и скоростта v по метода на Ойлер на интервала от време, като разделите интервала на 12 части.

Вземете 0 като начален момент, начална скорост 0 и начална позиция 1.

Решение

Числените резултати са показани в следната таблица:

Графиките на позицията и скоростта между времената 0 и 1,44 също се показват.

Предложени упражнения за дома

Упражнение 1

Използвайте електронна таблица, за да определите приблизително решение, използвайки метода на Ойлер за диференциалното уравнение:

y '= - Exp (-y) с началните условия x = 0, y = -1 в интервала x =

Започнете със стъпка 0,1. Начертайте резултата.

Упражнение 2

Използвайки електронна таблица, намерете числени решения на следното квадратично уравнение, където y е функция на независимата променлива t.

y '' = - 1 / y² с първоначалното условие t = 0; и (0) = 0.5; y '(0) = 0

Намерете разтвора в интервала, като използвате стъпка 0,05.

Начертайте резултата: y срещу t; y 'срещу t

Препратки

1. Метод на Ерлер Взета от wikipedia.org
2. Ойлер решаване. Взета от en.smath.com