МЕТОД НА ГАУС-ЗАЙДЕЛ: ОБЯСНЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Методът на Гаус-Сейдел е итеративна процедура за намиране на приблизителни решения на система от линейни алгебрични уравнения с произволно избрана точност. Методът се прилага към квадратни матрици с ненулеви елементи в техните диагонали и конвергенцията е гарантирана, ако матрицата е диагонално доминираща.

Създаден е от Карл Фридрих Гаус (1777-1855), който през 1823 г. дава частна демонстрация на един от учениците си. По-късно официално е публикуван от Филип Лудвиг фон Зайдел (1821-1896) през 1874 г., откъдето идва и името и на двамата математици.

Фигура 1. Методът на Гаус-Сейдел се сближава бързо, за да се получи решение на система от уравнения. Източник: Ф. Сапата.

За пълно разбиране на метода е необходимо да се знае, че матрицата е диагонално доминираща, когато абсолютната стойност на диагоналния елемент на всеки ред е по-голяма или равна на сумата от абсолютните стойности на останалите елементи от същия ред.

Математически това се изразява така:

Обяснение с помощта на прост случай

За да илюстрираме от какво се състои методът на Гаус-Зейдел, ще вземем един прост случай, в който стойностите на X и Y могат да бъдат намерени в 2 × 2 системата от линейни уравнения, показана по-долу:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Стъпки за следване

1- На първо място е необходимо да се определи дали конвергенцията е безопасна. Веднага се забелязва, че в действителност това е диагонално доминираща система, тъй като в първия ред първият коефициент има по-висока абсолютна стойност от останалите в първия ред:

-5 -> - 2-

По същия начин вторият коефициент във втория ред също е диагонално доминиращ:

--4 -> - 1-

2- Променливите X и Y се изчистват:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Поставя се произволна начална стойност, наречена "семе": Xo = 1, I = 2.

4-Итерацията започва: за да се получи първото приближение X1, Y1, семената се заместват в първото уравнение на етап 2 и резултатът във второто уравнение на стъпка 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Пристъпваме по подобен начин, за да получим второто приближение на решението на системата от уравнения:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Трета итерация:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Четвърта итерация като последна итерация на този илюстративен случай:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Тези стойности се съгласяват доста добре с решението, намерено чрез други методи за разделяне. Читателят може бързо да го провери с помощта на онлайн математическа програма.

Анализ на метода

Както може да се види, при метода на Гаус-Зейдел приблизителните стойности, получени за предишната променлива в същия този етап, трябва да бъдат заменени в следната променлива. Това го отличава от други итеративни методи, като например Якоби, при които всяка стъпка изисква сближаването на предишния етап.

Методът на Гаус-Зейдел не е паралелна процедура, докато методът на Гаус-Йордан е. Това е и причината методът на Гаус-Зейдел да има по-бързо сближаване - на по-малко стъпки - от метода на Йордан.

Що се отнася до диагонално доминиращото условие на матрицата, това не винаги е удовлетворено. Въпреки това, в повечето случаи просто смяната на редовете от оригиналната система е достатъчно, за да се изпълни условието. Освен това методът почти винаги се сближава, дори когато условието за диагонално доминиране не е изпълнено.

Предишният резултат, получен чрез четири повторения на метода на Гаус-Зейдел, може да бъде записан в десетична форма:

X4 = 0.1826

Y4 = 0,04565

Точното решение на предложената система от уравнения е:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Така само с 4 повторения получавате резултат с една хилядна точност (0,001).

Фигура 1 илюстрира как последователните итерации бързо се сближават с точното решение.

Приложения

Методът на Гаус-Сейдел не се ограничава само до 2 × 2 система от линейни уравнения. Предишната процедура може да бъде обобщена за решаване на линейна система от n уравнения с n неизвестни, която е представена в матрица като тази:

A X = b

Където A е nxn матрица, докато X е вектор n компоненти на n променливи, които трябва да бъдат изчислени; и b е вектор, съдържащ стойностите на независимите термини.

За да се обобщи последователността от итерации, приложени в илюстративния случай към nxn система, от която променливата Xi иска да бъде изчислена, ще бъде приложена следната формула:

В това уравнение:

- k е индексът за стойността, получена в итерация k.

-k + 1 показва новата стойност в следното.

Крайният брой повторения се определя, когато стойността, получена в итерация k + 1, се различава от получената непосредствено преди това с количество ε, което е точно желаната точност.

Примери за метода на Гаус-Зейдел

- Пример 1

Напишете общ алгоритъм, който позволява да се изчисли векторът на приблизителните решения X на линейна система от уравнения nxn, като се има предвид матрицата на коефициентите A, вектора на независими термини b, броя на повторенията (i ter) и началната стойност или "семената" "на вектор X.

Решение

Алгоритъмът се състои от два цикъла „До“, един за броя повторения, а другият за броя на променливите. Би било следното:

За k ∊

За i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Пример 2

Проверете работата на предишния алгоритъм чрез неговото приложение в безплатния и безплатен за използване математически софтуер SMath Studio, достъпен за Windows и Android. Вземете за пример случая на 2 × 2 матрицата, която ни помогна да илюстрираме метода на Гаус-Зейдел.

Решение

Фигура 2. Решение на системата на уравнения от примера 2 x 2, използвайки софтуера SMath Studio. Източник: Ф. Сапата.

- Пример 3

Приложете алгоритъма на Гаус-Сейдел за следната система 3 × 3 уравнения, която предварително е била подредена по такъв начин, че коефициентите на диагонала са доминиращи (тоест по-голяма абсолютна стойност от абсолютните стойности на коефициентите на същия ред):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Използвайте нулевия вектор като семена и помислете за пет итерации. Коментирайте резултата.

Решение

Фигура 3. Решение на системата от уравнения на решен пример 3, използвайки SMath Studio. Източник: Ф. Сапата.

За същата система с 10 повторения вместо 5 се получават следните резултати: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0,3406

Това ни казва, че пет итерации са достатъчни, за да се получат три точни десетични знака и методът бързо се сближава с решението.

- Пример 4

Използвайки алгоритъма на Гаус-Сейдел, даден по-горе, намерете решението на системата от уравнения 4 × 4, дадена по-долу:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

За да започнете метода, използвайте това семе:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 и x4 = 0

Помислете за 10 повторения и преценете грешката на резултата, сравнявайки с итерационно число 11.

Решение

Фигура 4. Решение на системата от уравнения на решен пример 4, използвайки SMath Studio. Източник: Ф. Сапата.

При сравнение със следващата итерация (номер 11), резултатът е идентичен. Най-големите разлики между двете повторения са от порядъка на 2 × 10 ^-8, което означава, че показаното решение има точност най-малко седем десетични знака.

Препратки

1. Итеративни методи за решение. Гаус-Зайдел. Възстановено от: cimat.mx
2. Числени методи. Гаус-Зайдел. Възстановено от: test.cua.uam.mx
3. Числови: метод на Гаус-Зейдел. Възстановено от: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Метод на Гаус-Зейдел Възстановено от: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Метод на Гаус-Зейдел Възстановено от: es.wikipedia.com