ОБРАТНА МАТРИЦА: ИЗЧИСЛЕНИЕ И РЕШЕНО УПРАЖНЕНИЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

В обратен матрицата на дадена матрица е матрица, която, умножена по оригинала дава матрица идентичност. Обратната матрица е полезна за решаване на системи от линейни уравнения, оттук и важността да знаем как да я изчислим.

Матриците са много полезни във физиката, инженерството и математиката, тъй като са компактен инструмент за решаване на сложни задачи. Полезността на матриците се повишава, когато те са обърнати и тяхната обръщане също е известна.

Фигура 1. Показани са обща 2 × 2 матрица и нейната обратна матрица. (Подготвил Рикардо Перес)

В областта на графичната обработка, Big Data, Data Mining, Machine Learning и други се използват ефективни и бързи алгоритми за оценка на обратната матрица от nxn матрици с много големи n, от порядъка на хиляди или милиони.

За да илюстрираме използването на обратната матрица при работа със система от линейни уравнения, ще започнем с най-простия случай от всички: 1 × 1 матрици.

Най-простият случай: счита се за линейно уравнение на една променлива: 2 x = 10.

Идеята е да се намери стойността на x, но тя ще бъде направена "матрица".

Матрицата M = (2), която умножава вектора (x), е матрица 1 × 1, която води до вектор (10):

M (x) = (10)

Обратната страна на матрицата М се обозначава с М ^-1.

Общият начин за писане на тази "линейна система" е:

MX = B, където X е вектор (x) и B е вектор (10).

По дефиниция обратната матрица е тази, която се умножава по оригиналната матрица, води до матрица за идентичност I:

М ^-1 М = I

В разглеждания случай матрицата M ^-1 е матрицата (½), тоест M ^-1 = (½), тъй като M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

За да намерим неизвестния вектор X = (x), в предложеното уравнение и двата члена се умножават по обратната матрица:

М ^-1 М (х) = М ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Достигнато е равенство на два вектора, които са равни само когато съответните им елементи са равни, тоест x = 5.

Изчисляване на обратната страна на матрица

Това, което мотивира изчисляването на обратната матрица, е да се намери универсален метод за решение на линейни системи като следната 2 × 2 система:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Следвайки стъпките на случая 1 × 1, проучен в предишния раздел, пишем системата от уравнения в матрична форма:

Фигура 2. Линейна система в матрична форма.

Обърнете внимание, че тази система е написана в компактна векторна нотация, както следва:

MX = B

където

Следващата стъпка е да се намери обратната на М.

Метод 1: Използване на Гаусова елиминация

Прилага се методът на елиминиране на Гаус. Което се състои в извършване на елементарни операции върху редовете на матрицата, тези операции са:

- Умножете ред с ненулево число.

- Добавяне или изваждане на друг ред от ред или кратния на друг ред.

- Разменете редовете.

Целта е чрез тези операции да конвертирате оригиналната матрица в матрицата за идентичност.

Тъй като това е направено, в матрица M точно същите операции се прилагат към матрицата за идентичност. Когато след няколко операции върху редовете M се трансформира в единичната матрица, тогава тази, която първоначално е била единицата, ще се превърне в обратната матрица на M, тоест M ^-1.

1- Започваме процеса, като пишем матрицата M и до нея - единичната матрица:

2- Добавяме двата реда и поставяме резултата във втория ред, по този начин получаваме нула в първия елемент на втория ред:

3- Умножаваме втория ред по -1, за да получим 0 и 1 във втория ред:

4- Първият ред се умножава по ½:

5- Второто и първото се добавят и резултатът се поставя в първия ред:

6- Сега, за да завършим процеса, първият ред се умножава по 2, за да се получи матрицата за идентичност в първия ред, а обратната матрица на оригиналната матрица M във втория:

Това означава:

Системно решение

След като се получи обратната матрица, системата от уравнения се решава чрез прилагане на обратната матрица към двата члена на компактното векторно уравнение:

М ^-1 М X = М ^-1 В

X = М ^-1 В

Което изрично изглежда така:

Тогава се умножава матрицата, за да се получи вектор X:

Метод 2: използване на приложена матрица

В този втори метод на обратна матрица се изчислява от долепени матрицата на оригиналната матрица А.

Да предположим матрица A, дадена от:

където _{I, J} е елемент в ред и колона и й на матрица А.

Присъединяването на матрица А ще се нарича Adj (A) и нейните елементи са:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

където Ai, J е комплементарна долната матрица, получена чрез отстраняване на ред и колона и J на оригиналната матрица А. Лентите ¦ ¦ означават, че детерминантът се изчислява, тоест ¦Ai, j¦ е определящият фактор на второстепенната допълнителна матрица.

Формула за обратна матрица

Формулата за намиране на обратната матрица, започваща от съседната матрица на оригиналната матрица, е следната:

Е обратната на матрицата А, А ^-1, е транспозиция на долепени на А разделен на детерминанта на A.

Транспонирането на A ^T на матрица A се получава чрез обмен на редове за колони, тоест първият ред става първи колона, а вторият ред става вторият колона и така нататък, докато n n реда на оригиналната матрица не бъдат завършени.

Упражнението е разрешено

Нека матрицата А е следната:

Всеки елемент на съседната матрица на A се изчислява: Adj (A)

В резултат на това прилежащата матрица на A, Adj (A) е следното:

Тогава се изчислява детерминантът на матрица A, det (A):

Накрая се получава обратната матрица на А:

Препратки

1. Anthony Nicolaides (1994) Определители и матрици. Pass Публикация
2. Awol Assen (2013) Проучване за изчисляването на детерминантите на 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Въведение в линейна алгебра. ESIC редакция.
4. Дейв Киркби (2004) Maths Connect. Хайнеман.
5. Джени Олив (1998) Математика: Наръчник за оцеляване на студентите. Cambridge University Press.
6. Ричард Дж. Браун (2012) 30-секунда математика: 50-те най-разширяващи се умове теории в математиката. Ivy Press Limited.
7. Matrix. Академично издателство Lap Lambert