Има ортогонална матрица, когато споменатата матрица, умножена по транспонирането, води до матрица за идентичност. Ако обратната част на матрицата е равна на транспонирането, тогава оригиналната матрица е ортогонална.
Ортогоналните матрици имат характеристиката, че броят на редовете е равен на броя на колоните. Освен това редните вектори са единични ортогонални вектори, а също така и транспонираните редови вектори.
Фигура 1. Пример на ортогонална матрица и как тя трансформира геометрични обекти. (Подготвил Рикардо Перес)
Когато ортогоналната матрица се умножава от векторите на векторно пространство, тя произвежда изометрична трансформация, тоест трансформация, която не променя разстоянията и запазва ъглите.
Типичен представител на ортогоналните матрици са ротационните матрици. Преобразуванията на ортогонални матрици във векторно пространство се наричат ортогонални трансформации.
Геометричните преобразувания на въртене и отразяване на точки, представени от техните декартови вектори, се извършват чрез прилагане на ортогонални матрици върху оригиналните вектори, за да се получат координатите на трансформираните вектори. Именно поради тази причина ортогоналните матрици се използват широко при обработката на компютърна графика.
Имоти
Матрица М е ортогонална ако умножен по нейната транспозиция М Т дава като резултат матрица идентичност I. По същия начин продуктът от транспонирането на ортогонална матрица от оригиналната матрица води до матрица за идентичност:
MM T = M T M = I
В резултат на предишното твърдение имаме, че транспонирането на ортогонална матрица е равно на неговата обратна матрица:
М Т = М -1 .
Множеството ортогонални матрици с размерност nxn образуват ортогоналната група O (n). И подмножеството на O (n) на ортогонални матрици с детерминант +1 образуват групата на единните специални матрици SU (n). Матриците на група SU (n) са матрици, които произвеждат линейни трансформации на въртене, известни също като групата на въртенията.
демонстрация
Искаме да покажем, че една матрица е ортогонална, ако и само ако векторите на редовете (или векторите на колоните) са ортогонални един на друг и на норма 1.
Да предположим, че редовете на ортогонална матрица nxn са n ортонормални вектори с размер n. Ако е обозначено с v 1 , v 2 ,…., V n до n векторите има:
Където е очевидно, че наистина множеството от редови вектори е набор от ортогонални вектори с норма един.
Примери
Пример 1
Покажете, че матрицата 2 х 2, която в първия си ред има вектора v1 = (-1 0), а във втория си ред вектор v2 = (0 1) е ортогонална матрица.
Решение: Матрицата M е построена и нейното транспониране M T се изчислява:
В този пример матрицата M се пренася самостоятелно, тоест матрицата и нейното транспониране са идентични. Умножете M чрез транспонирането му M T:
Проверява се, че MM T е равен на матрицата за идентичност:
Когато матрицата М се умножи по координатите на вектор или точка, се получават нови координати, които съответстват на преобразуването, което матрицата прави върху вектора или точката.
Фигура 1 показва как M трансформира вектора u в u ', а също и как M преобразува синия многоъгълник в червен многоъгълник. Тъй като М е ортогонална, то това е ортогонална трансформация, която запазва разстоянията и ъглите.
Пример 2
Да предположим, че имате матрица 2 x 2, дефинирана в реалиите, дадени от следния израз:
Намерете реалните стойности на a, b, c и d, така че матрицата M е ортогонална матрица.
Решение: По дефиниция матрицата е ортогонална, ако се умножи по нейната транспонираща матрица за идентичност. Спомняйки си, че транспонираната матрица е получена от оригинала, обменяйки редове за колони, се получава следното равенство:
Извършване на матрично умножение имаме:
Приравнявайки елементите на лявата матрица с елементите на матрицата за идентичност вдясно, получаваме система от четири уравнения с четири неизвестни a, b, c и d.
Предлагаме за a, b, c и d следните изрази по отношение на тригонометрични съотношения синус и косинус:
С това предложение и поради основната тригонометрична идентичност, първото и третото уравнение автоматично се удовлетворяват при равенството на матричните елементи. Третото и четвъртото уравнение са еднакви и в матрично равенство след заместване на предложените стойности изглежда така:
което води до следното решение:
Накрая се получават следните решения за ортогоналната матрица М:
Обърнете внимание, че първият разтвор има детерминант +1, така че принадлежи към групата SU (2), докато вторият разтвор има детерминант -1 и следователно не принадлежи към тази група.
Пример 3
Като се има предвид следната матрица, намерете стойностите на a и b, така че да имаме ортогонална матрица.
Решение: За да може дадена матрица да бъде ортогонална, продуктът с нейното транспониране трябва да бъде матрицата за идентичност. След това се извършва матричният продукт на дадената матрица с нейната транспонирана матрица, като се получава следният резултат:
След това резултатът се приравнява с 3 x 3 матрица за идентичност:
Във втория ред третата колона има (ab = 0), но a не може да бъде нула, тъй като в противен случай не би било изпълнено равенството на елементите на втория ред и втори колона. Тогава задължително b = 0. Заместването на b за стойността 0 имаме:
Тогава се решава уравнението: 2a ^ 2 = 1, чиито решения са: + ½√2 и -½√2.
Приемайки положителното решение за a, се получава следната ортогонална матрица:
Читателят може лесно да потвърди, че векторите на редовете (а също и векторите на колоните) са ортогонални и единични, тоест ортонормални.
Пример 4
Покажете, че матрицата A, чиито вектори на редове са v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) и v3 = (0 0 -1) е ортогонална матрица. Освен това намерете, че векторите се трансформират от каноничната основа i, j, k във вектори u1, u2 и u3.
Решение: Трябва да се помни, че елементът (i, j) на матрица, умножена по нейното транспониране, е точков произход на вектора на ред (i) по този на колона (j) на транспонирането. Освен това, този продукт е равен на делтата на Kronecker в случай, че матрицата е ортогонална:
В нашия случай изглежда така:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
С което е показано, че е ортогонална матрица.
Освен това u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) и накрая u3 = A k = (0, 0, -1)
Препратки
- Anthony Nicolaides (1994) Определители и матрици. Pass Публикация
- Birkhoff и MacLane. (1980 г.). Модерна алгебра, изд. Виченс-Вивес, Мадрид.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Въведение в линейна алгебра. ESIC редакция.
- Дейв Киркби (2004) Maths Connect. Хайнеман.
- Джени Олив (1998) Математика: Наръчник за оцеляване на студентите. Cambridge University Press.
- Ричард Дж. Браун (2012) 30-секунда математика: 50-те най-разширяващи се умове теории в математиката. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ортогонална матрица. Възстановено от: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ортогонална матрица. Възстановено от: en.wikipedia.com