НОМЕР НА EULER ИЛИ E НОМЕР: КОЛКО СТРУВА, СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- Ойлер номер или номер на д е добре позната математическа константа, която се появява често в множество научни и икономически приложения, заедно с номер П и други важни числа в математиката.

Научният калкулатор връща следната стойност за числото e:

Фигура 1. Числото на Ойлер се появява често в Science. Източник: Ф. Сапата.

e = 2.718281828…

Но са известни още много десетични знаци, например:

e = 2.71828182845904523536…

И съвременните компютри са намерили трилиони десетични знаци за числото e.

Това е нерационално число, което означава, че има безкраен брой десетични знаци без никакъв повтарящ се модел (последователността 1828 се появява два пъти в началото и вече не се повтаря).

Това също означава, че числото e не може да бъде получено като коефициент на две цели числа.

история

Числото е идентифицирано от учения Жак Бернули през 1683 г., когато той изучава проблема за сложен интерес, но преди това се е появил косвено в произведенията на шотландския математик Джон Напиер, който изобретил логаритми около 1618 година.

Въпреки това именно Леонхард Ойлер през 1727 г. му дава името номер e и интензивно изучава неговите свойства. Ето защо той е известен също като Ойлеровото число, а също и като естествена основа за използваните в момента естествени логаритми (показател).

Колко струва числото e?

Числото e заслужава:

e = 2.71828182845904523536…

Елипсата означава, че има безкраен брой десетични знаци и всъщност с днешните компютри са известни милиони от тях.

Представления на числото e

Има няколко начина за определяне на e, които описваме по-долу:

Числото e като граница

Един от различните начини, по който се изразява числото e, е този, който ученият Бернули откри в своите трудове за сложен интерес:

В който трябва да направите стойността n много голямо число.

Лесно е да се провери с помощта на калкулатор, че когато n е много голям, предишният израз е склонен към стойността на e, дадена по-горе.

Разбира се, можем да се запитаме колко големи n могат да бъдат направени, така че нека опитаме кръгли числа, като тези например:

n = 1000; 10 000 или 100 000

В първия случай получаваме e = 2.7169239…. Във втория е = 2.7181459…, а в третия е много по-близо до стойността на e: 2.7182682. Вече можем да си представим, че с n = 1 000 000 или по-големи, приблизителността ще бъде още по-добра.

На математически език процедурата за приближаване на n да се доближава и се доближава до много голяма стойност се нарича ограничение до безкрайност и се обозначава така:

За означаване на безкрайността се използва символът "∞".

Числото e като сума

Също така е възможно да се определи числото e чрез тази операция:

Цифрите, които се появяват в знаменателя: 1, 2, 6, 24, 120…, съответстват на операцията n !, където:

И по дефиниция 0! = 1.

Лесно е да се провери, че колкото повече добавяния са добавени, толкова по-точно се достига числото e.

Нека направим няколко теста с калкулатора, добавяйки все повече и повече добавки:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Колкото повече термини се добавят към сумата, толкова повече резултатът наподобява e.

Математиците създадоха компактна нотация за тези суми, включваща много термини, използвайки символа за сумиране Σ:

Този израз се чете така "сумата от n = 0 до безкрайността на 1 между n факториал".

Числото е от геометричната гледна точка

Числото е с графично представяне, свързано с площта под графиката на кривата:

у = 1 / х

Когато стойностите на x са между 1 и e, тази площ е равна на 1, както е показано на следната фигура:

Фигура 2. Графично представяне на числото e: площта под кривата 1 / x, между x = 1 и x = e, струва 1. Източник: F. Zapata.

Свойства на числото e

Някои от свойствата на числото e са:

-Това е ирационално, с други думи, не може да се получи просто чрез разделяне на две цели числа.

- Числото e също е трансцендентно число, което означава, че e не е решение на никое полиномно уравнение.

-Той е свързан с четири други известни числа в областта на математиката, а именно: π, i, 1 и 0, чрез идентичността на Ойлер:

-Така наречените сложни числа могат да бъдат изразени чрез e.

-Той представлява основата на естествените или естествените логаритми на сегашното време (първоначалното определение на Джон Напиер се различава малко).

-Това е единственото число такова, че естественият му логаритъм е равен на 1, тоест:

Приложения

Статистика

Числото e се появява много често в областта на вероятността и статистиката, като се появява в различни разпределения, като нормални или гаусски, пуассонови и други.

Инженерство

В инженерството това е често, тъй като експоненциалната функция y = e ^x присъства например в механиката и електромагнетизма. Сред многото приложения можем да споменем:

-Кабел или верига, която виси, държана за краищата, приема формата на кривата, дадена от:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-При първоначалния разряден кондензатор С, който е свързан последователно към резистор R и източник на напрежение V за зареждане, придобива определен заряд Q като функция от време t, зададено от:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

биология

Експоненциалната функция y = Ae ^Bx, с константа A и B, се използва за моделиране на клетъчен растеж и растеж на бактерии.

физически

В ядрената физика радиоактивният разпад и определянето на възрастта се моделират чрез радиовъглеродни дати.

Икономика

При изчисляването на сложните лихви числото възниква естествено.

Да предположим, че имате определена сума P _o за инвестиране при лихвен процент от i% годишно.

Ако оставите парите за 1 година, след това време ще имате:

След още една година, без да я докосвате, ще имате:

И продължава по този начин в продължение на n години:

Сега нека си припомним едно от определенията на e:

Изглежда малко като израза за P, така че трябва да има връзка.

Ще разпределим номиналната лихва i в n периоди от време, като по този начин сложният лихвен процент ще бъде i / n:

Този израз изглежда малко повече като нашата граница, но все още не е точно такъв.

Въпреки това, след някои алгебрични манипулации може да се покаже, че като направите тази промяна на променлива:

Нашите пари P стават:

И това, което е между скобите, дори ако е написано с буквата h, е равно на аргумента на границата, която определя числото e, липсва само границата.

Нека направим h → ∞ и това, което е между скобите, става числото e. Това не означава, че трябва да чакаме безкрайно дълго време, за да изтеглим парите си.

Ако погледнем отблизо, като правим h = n / i и се стремим към ∞, това, което всъщност сме направили, е разпределението на лихвения процент в много, много малки периоди от време:

i = n / h

Това се нарича непрекъснато смесване. В такъв случай количеството пари се изчислява лесно така:

Където аз е годишната лихва. Например, при депозиране на 12 евро при 9% годишно, чрез непрекъсната капитализация, след една година имате:

С печалба от 1,13 евро.

Препратки

1. Насладете се на математиката. Сложен интерес: Периодичен състав. Възстановени от: enjolasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Математика 1-ви. Разделност. CO-BO издания.
3. Гарсия, М. Числото е в елементарно смятане. Възстановени от: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Изчисляване на променлива. 9-ти. Edition. McGraw Hill.