СЛОЖНИ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ, ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- сложните номера са цифровата набор покриваща реални числа и всички корените на полиноми включително двойки корените на отрицателни числа. Тези корени не съществуват в множеството реални числа, но в сложни числа има решението.

Сложно число се състои от истинска част и част, наречена „въображаема“. Истинската част се нарича а, например, а въображаемата част ib, с реални числа a и b и „i“ като въображаема единица. По този начин комплексното число придобива формата:

Фигура 1. - Биномиално представяне на сложно число по отношение на реална част и въображаема част. Източник: Pixabay

Примери за сложни числа са 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Но преди да работим с тях, нека да видим откъде произлиза въображаемата единица, отчитайки това квадратично уравнение:

x ² - 10x + 34 = 0

В която a = 1, b = -10 и c = 34.

Когато прилагаме разделителната формула за определяне на решението, откриваме следното:

Как да определим стойността на √-36? Няма реално число, което в квадрат се получава отрицателно количество. Тогава се заключава, че това уравнение няма реални решения.

Въпреки това можем да напишем това:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ако определим определена стойност x такава, че:

x ² = -1

Така:

x = ± √-1

И горното уравнение би имало решение. Следователно въображаемата единица беше определена като:

i = √-1

И така:

√-36 = 6i

Много математици от древността са работили върху решаването на подобни проблеми, особено ренесансовият Жироламо Кардано (1501-1576), Николо Фонтана (1501-1557) и Рафаеле Бомбели (1526-1572).

Години по-късно Рене Декарт (1596-1650) нарича количествата „въображаеми“ като √-36 в примера. Поради тази причина √-1 е известна като въображаема единица.

Свойства на сложни числа

-Наборът от сложни числа се обозначава като C и включва реалните числа R и имагинерните числа Im. Наборът от числа е представен на диаграма на Venn, както е показано на следната фигура:

Фигура 2. Venn диаграма на множествата от числа Източник: Ф. Сапата.

-Всичкият комплексен номер се състои от истинска част и въображаема част.

-Когато въображаемата част на сложно число е 0, това е чисто реално число.

-Ако истинската част на сложно число е 0, то числото е чисто въображаемо.

-Две сложни числа са равни, ако съответната им реална част и въображаема част са еднакви.

-С сложни числа се извършват известните операции на събиране, изваждане, умножение, произведение и усъвършенстване, което води до друго сложно число.

Представяне на сложни числа

Сложните числа могат да бъдат представени по различни начини. Ето основните:

- Биномиална форма

Това е формата, дадена в началото, където z е сложното число, a е реалната част, b е въображаемата част и i е въображаемата единица:

Или също:

Един от начините за изчисляване на сложното число е чрез сложната равнина, показана на тази фигура. Въображаемата ос Im е вертикална, докато истинската ос е хоризонтална и се обозначава като Re.

Сложното число z е представено в тази равнина като точка от координати (x, y) или (a, b), както е направено с точките на реалната равнина.

Разстоянието от началото на точката z е модулът на комплексното число, обозначен като r, докато φ е ъгълът, който r прави с реалната ос.

Фигура 3. Представяне на комплексно число в сложната равнина. Източник: Wikimedia Commons.

Това представяне е тясно свързано с това на векторите в реалната равнина. Стойността на r съответства на модула на комплексното число.

- Полярна форма

Полярната форма се състои в изразяване на сложното число чрез даване на стойностите на r и на φ. Ако погледнем фигурата, стойността на r съответства на хипотенузата на десен триъгълник. Краката са на стойност a и b, или x и y.

От биномиалната или биномиалната форма можем да преминем към полярната форма чрез:

Ъгълът φ е този, образуван от сегмента r с хоризонталната ос или въображаема ос. Той е известен като аргумент на сложното число. По този начин:

Аргументът има безкрайни стойности, като се вземе предвид, че всеки път, когато се завърти завой, който е на стойност 2π радиани, r отново заема същото положение. По този общ начин аргументът на z, обозначен Arg (z), се изразява така:

Където k е цяло число и се използва за указване на броя завъртени завои: 2, 3, 4…. Знакът посочва посоката на въртене, ако е по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.

Фигура 4. Полярно представяне на комплексно число в сложната равнина. Източник: Wikimedia Commons.

И ако искаме да преминем от полярната форма към биномиалната форма, използваме тригонометричните съотношения. От предишната фигура можем да видим, че:

x = r cos φ

y = r sin φ

По този начин z = r (cos φ + i sin φ)

Което е съкратено така:

z = r cis φ

Примери за сложни числа

Следните сложни числа са дадени в биномиална форма:

а) 3 + i

б) 4

г) -6i

И те под формата на подредена двойка:

а) (-5, -3)

б) (0, 9)

в) (7.0)

И накрая, тази група е дадена в полярна или тригонометрична форма:

а) √2 cis 45º

б) √3 cis 30º

в) 2 cis 315º

За какво са те?

Полезността на сложните числа надхвърля решаването на квадратното уравнение, показано в началото, тъй като те са от съществено значение в областта на инженерството и физиката, особено в:

-Изучаването на електромагнитните вълни

-Анализ на променлив ток и напрежение

-Моделирането на всички видове сигнали

-Теория на относителността, при която времето се приема като въображаема величина.

Сложни операции с номера

Със сложни числа можем да извършим всички операции, които се извършват с реални. Някои от тях са по-лесни за извършване, ако числата идват в биномиална форма, като събиране и изваждане. За разлика от тях умножението и делението са по-прости, ако се извършват с полярната форма.

Нека да видим няколко примера:

- Пример 1

Добавете z ₁ = 2 + 5i и z ₂ = -3 -8i

Решение

Истинските части се добавят отделно от въображаемите части:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Пример 2

Умножете z ₁ = 4 cis 45º и z ₂ = 5 cis 120º

Решение

Може да се покаже, че произведението от две сложни числа в полярна или тригонометрична форма се дава от:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Според това:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Приложение

Просто приложение на сложни числа е да се намерят всички корени на полиномно уравнение като този, показан в началото на статията.

В случая на уравнението x ² - 10x + 34 = 0, прилагайки разделителната формула, получаваме:

Следователно решенията са:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Препратки

1. Граф, Р. Сложни числа. Възстановено от: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Математика 1-ви. Разделност. CO-BO издания.
3. Hoffmann, J. 2005. Избор на теми по математика. Публикации в Монфор.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Сложни числа. Възстановено от: en.wikipedia.org