СЪСТАВНИ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На номера съединения са тези числа, които имат повече от два разделители. Ако погледнем отблизо, всички числа са поне делими точно от себе си и от 1. Тези, които имат само тези два делителя, се наричат ​​прайми, а тези, които имат повече, са съставни.

Нека разгледаме числото 2, което може да бъде разделено само между 1 и 2. Числото 3 също има два делителя: 1 и 3. Следователно и двете са първични. Сега нека разгледаме числото 12, което можем да разделим точно на 2, 3, 4, 6 и 12. Като имаме 5 делители, 12 е съставно число.

Фигура 1. Простите числа в синьо могат да бъдат представени само от един ред точки, а не съставни числа в червено. Източник: Wikimedia Commons.

И какво се случва с числото 1, това, което разделя всички останали? Е, тя не е първостепенна, защото няма два делителя и не е композитна, следователно 1 не попада в нито една от тези две категории. Но има много, много повече числа.

Композитните числа могат да бъдат изразени като произведение на прости числа и този продукт, с изключение на реда на факторите, е уникален за всяко число. Това е гарантирано от фундаменталната теорема за аритметика, доказана от гръцкия математик Евклид (325-365 г. пр.н.е.).

Да се ​​върнем към числото 12, което можем да изразим по различни начини. Нека опитаме няколко:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Формите, които са подчертани с удебелен шрифт, са продукти с прости числа и единственото, което се променя, е редът на факторите, които знаем, че не променят продукта. Останалите форми, макар и валидни за изразяване на 12, не се състоят само от праймери.

Примери за съставни числа

Ако искаме да разложим съставно число на основните му коефициенти, трябва да го разделим между прости числа по такъв начин, че делението е точно, тоест остатъкът е 0.

Тази процедура се нарича първична факторизация или канонично разлагане. Основните фактори могат да бъдат повишени до положителни фактори.

Ще разложим числото 570, отбелязвайки, че то е равномерно и следователно се дели на 2, което е просто число.

Ще използваме лента, за да отделим числото отляво от разделителите вдясно. Съответните коефициенти се поставят под числото, както са получени. Разлагането е завършено, когато последната цифра в лявата колона е 1:

570 │2

285 │

Когато се дели на 2, коефициентът е 285, което се дели на 5, друго просто число, завършващо с 5.

570 │2

285 │5

57 │

57 е делимо на 3, също прост, тъй като сумата от неговите цифри 5 + 7 = 12 е кратна на 3.

570 │2

285 │5

57 │3

19 │

Накрая получаваме 19, което е просто число, чиито делители са 19 и 1:

570 │2

285 │5

57 │3

19 │19

1 │

Чрез получаване на 1 можем да изразим 570 по този начин:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

И виждаме, че в действителност това е продукт на 4 прости числа.

В този пример започваме деление на 2, но същите фактори (в друг ред) бихме получили, ако започнем с разделянето например на 5.

Фигура 2. Композитното число 42 също може да се разложи с помощта на дървовидна диаграма. Източник: Wikimedia Commons.

Критерии за разделяне

За да разложите съставно число в основните си фактори, е необходимо да го разделим точно. Критериите за разделяне между прости числа са правила, които позволяват да се знае кога точно числото се дели от друго точно, без да се налага да се опитва или доказва.

- Разделимост с 2

Всички четни числа, тези, които завършват на 0 или четно число, се делят на 2.

- Разделимост с 3

Ако сумата от цифрите на число е кратна на 3, тогава числото е също и следователно се дели на 3.

- Разделяне на 5

Числата, които завършват на 0 или 5, се делят на 5.

-Разделимост със 7

Числото се дели на 7, ако при разделянето на последната цифра, умножаването му по 2 и изваждането на оставащото число, получената стойност е кратно на 7.

Това правило изглежда малко по-сложно от предишните, но в действителност не е чак толкова много, така че нека да разгледаме пример: 98 ще се дели на 7?

Нека следваме инструкциите: отделяме последната цифра, която е 8, умножаваме я с 2, което дава 16. Числото, което остава при разделянето на 8, е 9. Изваждаме 16 - 9 = 7. И тъй като 7 е кратно на себе си, 98 е делимо между 7.

-Разделимост до 11

Ако сумата от фигурите в четно положение (2, 4, 6…) се извади от сумата от цифрите в нечетна позиция (1, 3, 5, 7…) и се получава 0 или кратно на 11, числото е делимо на 11.

Първите кратни от 11 лесно се идентифицират: те са 11, 22, 33, 44… 99. Но внимавайте, 111 не е, вместо това е 110.

Като пример, нека да видим дали 143 е кратно на 11.

Това число има 3 цифри, единствената четна цифра е 4 (втората), двете нечетни цифри са 1 и 3 (първа и трета), а тяхната сума е 4.

И двете суми се изваждат: 4 - 4 = 0 и тъй като се получава 0, се оказва, че 143 е кратно на 11.

-Разделимост до 13

Числото без цифрите трябва да се извади от 9 пъти тази цифра. Ако броя връща 0 или кратно на 13, числото е кратно на 13.

Като пример ще проверим, че 156 е кратно на 13. Цифрата е 6, а числото, което остава без нея, е 15. Умножаваме 6 x 9 = 54 и сега изваждаме 54 - 15 = 39.

Но 39 е 3 х 13, така че 56 е кратно на 13.

Основни номера един към друг

Две или повече прости или съставни числа могат да бъдат прости или съвместни. Това означава, че единственият общ делител, който имат, е 1.

Има две важни свойства, които трябва да запомните, когато става дума за coprimes:

-Две, три и повече последователни числа винаги са първи един за друг.

-Същото може да се каже за две, три или повече последователни нечетни числа.

Например 15, 16 и 17 са прости числа един към друг и така са 15, 17 и 19.

Как да знам колко делители има съставно число

Простото число има два делителя, същото число и 1. И колко делители има съставно число? Това могат да бъдат братовчеди или съединения.

Нека N е съставно число, изразено като канонично разлагане, както следва:

N = a ⁿ. b ^m. c ^p … r ^k

Където a, b, c… r са основните коефициенти и n, m, p… k съответните показатели. Е, броят на делителите C, който N е даден от:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Със C = първични разделители + съставни дивизори + 1

Например 570, който се изразява така:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Всички основни фактори са повишени до 1, поради което 570 има:

С = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 делителя

От тези 10 делители вече знаем: 1, 2, 3, 5, 19 и 570. Липсват още 10 делители, които са съставни числа: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 и 285. Те се откриват чрез наблюдение на разлагането в основни фактори и умножаване на комбинациите от тези фактори заедно.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Разделете следните числа в основни фактори:

а) 98

б) 143

в) 540

г) 3705

Решение за

98 │2

49 │7

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

Решение b

143 │11

13 │13

1 │

143 = 11 x 13

Решение c

540 │5

108 │2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Решение г

3705 │5

741 │3

247 │13

19 │19

1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Упражнение 2

Разберете дали следните числа са най-важни един за друг:

6, 14, 9

Решение

-Разделителите на 6 са: 1, 2, 3, 6

-Както за 14, то се дели на: 1, 2, 7, 14

-Накрая 9 има като разделители: 1, 3, 9

Единственият общ делител е 1, следователно те са първи един за друг.

Препратки

1. Балдор, А. 1986. Аритметика. Издания и дистрибуции Codex.
2. Byju му. Основни и съставни числа. Възстановено от: byjus.com.
3. Основни и съставни числа. Възстановени от: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Критерии за разделяне. Възстановено от: smartick.es.
5. Wikipedia. Съставни числа. Възстановено от: en.wikipedia.org.