ЦЕЛИ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Целите числа са набор от полезни числа за преброяване на обектите, които завършват има, и не са. Също така да се броят онези, които са от едната и другата страна на определено ориентир.

Също така с цели числа можете да извършите изваждането или разликата между число и друго, по-голямо от него, като резултатът се урежда като дълг, например. Разграничението между печалби и дългове се прави съответно с знаци + и -.

Фигура 1. Цифровият ред за цели числа. Източник: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Следователно, наборът от цели числа включва следното:

-Положителни цели числа, които се пишат предшествани от знак + или просто без знака, тъй като също се разбира, че са положителни. Например: +1, +2, + 3… и така нататък.

-0, в който знакът е без значение, тъй като няма значение да го добавите, за да го извадите от някакво количество. Но 0 е много важно, тъй като е референцията за целите числа: от едната страна са положителните, а от другата отрицателните, както виждаме на фигура 1.

-Отрицателни цели числа, които винаги трябва да се изписват преди знака - тъй като с тях се разграничават сумите като дългове и всички онези, които са от другата страна на справочника. Примери за отрицателни цели числа са: -1, -2, -3… и след това.

Как са представени цели числа?

В началото представяме целите числа със зададената нотация: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, тоест списъци и организиран. Но много полезно представяне е това, използвано от числовия ред. Това изисква изчертаване на линия, която обикновено е хоризонтална, на която 0 е маркирана и разделена на еднакви секции:

Фигура 2. Представяне на цели числа в числовия ред. От 0 вдясно са положителните числа и от 0 вляво отрицателните. Източник: Ф. Сапата.

Негативите отиват вляво от 0, а положителните - вдясно. Стрелките на числовата линия символизират, че числата продължават до безкрайност. Като се има предвид всяко цяло число, винаги е възможно да се намери едно, което е по-голямо или друго, което е по-малко.

Абсолютната стойност на цяло число

Абсолютната стойност на цяло число е разстоянието между числото и 0. И разстоянията са винаги положителни. Следователно абсолютната стойност на отрицателното цяло число е числото без неговия знак минус.

Например абсолютната стойност на -5 е 5. Абсолютната стойност се обозначава с барове, както следва:

--5- = 5

За да го визуализирате, просто пребройте интервалите в числовия ред от -5 до 0. Докато абсолютната стойност на положително цяло число е същото число, например - + 3- = 3, тъй като разстоянието му от 0 е с 3 интервала:

Фигура 3. Абсолютната стойност на цяло число винаги е положителна величина. Източник: Ф. Сапата.

Имоти

-Наборът от цели числа се обозначава като Z и включва множеството естествени числа N, като техните елементи са безкрайни.

-Цяло число и това, което следва (или това, което го предхожда), винаги са диференцирани в единство. Например след 5 идва 6, като 1 е разликата между тях.

-Всеки цяло число има предшественик и наследник.

-Всичко положително цяло число е по-голямо от 0.

-Отрицателното цяло число винаги е по-малко от 0 и всяко положително число. Вземете за пример числото -100, това е по-малко от 2, от 10 и от 50. Но също така е по-малко от -10, -20 и -99 и е по-голямо от -200.

-0 0 няма съображения за знака, тъй като не е нито отрицателен, нито положителен.

-С цели числа можете да извършвате същите операции, които се правят с естествени числа, а именно: събиране, изваждане, умножение, овластяване и други.

-Целото число, противоположно на определено цяло число x, е –x и сумата от цяло число с неговата противоположност е 0:

x + (-x) = 0.

Операции с цели числа

- Сума

-Ако числата, които трябва да се добавят, имат еднакъв знак, техните абсолютни стойности се добавят и резултатът се поставя със знака, който имат добавките. Ето няколко примера:

а) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

б) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Ако числата са с различен знак, абсолютните стойности се изваждат (най-високата от най-ниската) и резултатът се поставя със знака на числото с най-високата абсолютна стойност, както следва:

а) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

б) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Свойства на сумата от цели числа

-Сумата е комутативна, следователно редът на добавките не променя сумата. Нека a и b са цели числа, вярно е, че a + b = b + a

-0 е неутралният елемент от сумата от цели числа: a + 0 = a

-Всичко число, добавено към противоположната му точка, е 0. Обратното на + a е –a, и обратно, обратното на –a е + a. Следователно: (+ a) + (-a) = 0.

Фигура 2. Правило на знаците за добавяне на цели числа. Източник: Wikimedia Commons.

- изваждане

За да се извадят цели числа, човек трябва да се ръководи от това правило: изваждането е еквивалентно на добавянето на число с неговата противоположност. Нека a и b са две числа, след това:

a - b = a + (-b)

Например, да предположим, че трябва да направите следната операция: (-3) - (+7), след това:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Умножение

Умножението на цели числа следва определени правила за знаци:

-Продуктът от две числа с един и същ знак винаги е положителен.

-Когато се умножат две числа с различни знаци, резултатът винаги е отрицателен.

-Стойността на продукта е равна на умножаването на съответните абсолютни стойности.

Веднага няколко примера, които изясняват горното:

(-5) х (+8) = - 5 х 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Свойства на умножение на цели числа

-Умножението е комутативно. Нека a и b са цели числа, вярно е, че: ab = ba, което също може да бъде изразено като:

-Неутралният елемент на умножението е 1. Нека a е цяло число, следователно a.1 = 1

-Всичко число, умножено по 0, е равно на 0: a.0 = 0

Разпределителното свойство

Умножението отговаря на разпределителното свойство по отношение на добавянето. Ако a, b и c са цели числа, тогава:

a. (b + c) = ab + ac

Ето пример за това как да приложите това свойство:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Овластяване

-Ако базата е положителна, резултатът от операцията винаги е положителен.

-Когато основата е отрицателна, ако показателят е четен, резултатът е положителен. и ако показателят е нечетен, резултатът е отрицателен.

- Отдел

При делението се прилагат същите правила за знаци, както при умножение:

-При разделянето на две цели числа от един и същи знак, резултатът винаги е положителен.

-Когато се делят две цели числа с различни знаци, коефициентът е отрицателен.

Например:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Важно: делението не е комутативно, с други думи a ÷ b ≠ b ÷ a както винаги, разделянето на 0 не е позволено.

- Овластяване

Нека a е цяло число и искаме да го повишим до експонент n, тогава трябва да умножим a по n n пъти, както е показано по-долу:

a ⁿ = aaaa……a

Също така вземете предвид следното, като вземете предвид, че n е естествено число:

-Ако а е отрицателен и n е равномерно, резултатът е положителен.

-Когато a е отрицателно и n е нечетно, това води до отрицателно число.

-Ако a е положителен и n е четно или нечетно, положителното цяло число винаги води до резултат.

-Всичко число, повдигнато на 0, е равно на 1: a ⁰ = 1

-Всичко число, повдигнато на 1, е равно на числото: a ¹ = a

Да кажем например, че искаме да намерим (–3) ⁴, за да го умножим (-3) четири пъти по себе си, като това: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Друг пример, също с отрицателно цяло число, е:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Продукт на правомощия на равна база

Да предположим, че две сили с еднаква основа, ако ги умножим, получаваме друга мощност със същата база, чийто показател е сборът на дадените показатели:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Коефициент на равни базови сили

При разделяне на силите на равна основа, резултатът е мощност със същата база, чийто показател е изваждането на дадените показатели:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Ето два примера, които изясняват тези точки:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Примери

Нека да видим прости примери за прилагане на тези правила, като не забравяме, че в случай на положителни числа, знакът може да бъде отменен с:

а) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

б) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

в) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

г) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

д) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

е) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

ж) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

з) (+5) х (-12) = - 5 х 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Решени упражнения

- Упражнение 1

Мравка се движи по числовата линия на фигура 1. Започвайки от точката х = +3, прави следните движения:

-Подвижва 7 единици вдясно

-Сега върнете 5 единици вляво

-Въртете още 3 единици вляво.

-Той се връща назад и премества 4 единици вдясно.

В кой момент е мравката в края на обиколката?

Решение

Нека наречем преместванията D. Когато са вдясно, им се дава положителен знак, а когато вляво - отрицателен. По този начин и като се започне от x = +3 имаме:

-Първо D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Секунда D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Трето D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Роя D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Когато мравката завърши ходенето си, тя е в положение x = +6. Тоест, това е 6 единици вдясно от 0 в числовия ред.

- Упражнение 2

Решете следната операция:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Решение

Тази операция съдържа групиращи знаци, които са скоби, квадратни скоби и скоби. Когато решавате, първо трябва да се грижите за скобите, след това скобите и накрая скобите. С други думи, трябва да работите отвътре навън.

В това упражнение точката представлява умножение, но ако няма точка между число и скоба или друг символ, също се разбира, че е продукт.

Под резолюцията стъпка по стъпка цветовете служат като ръководство за проследяване на резултата от намаляването на скобите, които са най-вътрешните групиращи символи:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Упражнение 3

Решете уравнението от първа степен:

12 + x = 30 + 3x

Решение

Термините са групирани с неизвестното вляво от равенството, а числовите термини вдясно:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Препратки

1. Карена, М. 2019. Предуниверситетско ръководство по математика. Националният университет на Литорала.
2. Figuera, J. 2000. Математика за 7 клас. CO-BO издания.
3. Hoffmann, J. 2005. Избор на теми по математика. Публикации в Монфор.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Целите числа. Възстановено от: Cimanet.uoc.edu.