ВЪОБРАЖАЕМИ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На имагинерни числа са тези, които се реши уравнението, в което неизвестното, издигнат на площада е равна на отрицателен реален брой. Въображаемата единица е i = √ (-1).

В уравнението: Z ² = - A, Z е въображаема номер, който се изразява, както следва:

z = √ (-a) = i√ (a)

Като положително реално число. Ако a = 1, тогава z = i, където i е въображаемата единица.

Фигура 1. Сложна равнина, показваща някои реални числа, някои имагинерни числа и някои сложни числа. Източник: Ф. Сапата.

Като цяло чисто въображаемо число z винаги се изразява във формата:

z = y⋅i

Където y е реално число и i е въображаемата единица.

Точно както реалните числа са представени на линия, наречена реална линия, по подобен начин имагинерните числа са представени върху въображаемата линия.

Въображаемата линия винаги е ортогонална (90 ° форма) спрямо реалната линия, а двете линии определят декартова равнина, наречена сложна равнина.

На фигура 1 е показана сложната равнина и върху нея са представени някои реални числа, някои имагинерни числа, а също и някои сложни числа:

X ₁, X ₂, X ₃ са реални числа

Y ₁, Y ₂, Y ₃ са въображаеми числа

Z ₂ и Z ₃ са сложни числа

Числото O е истинската нула и то също е въображаемата нула, така че произходът O е сложната нула, изразена с:

0 + 0i

Имоти

Наборът от въображаеми числа се обозначава с:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

И можете да определите някои операции на този числов набор. Въображаемо число не винаги се получава от тези операции, така че нека ги разгледаме малко по-подробно:

Добавете и извадете въображаемо

Въображаемите числа могат да се добавят и изваждат едно от друго, което води до ново въображаемо число. Например:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Продукт на въображаем

Когато се произведе произведението на едно въображаемо число с друго, резултатът е реално число. Нека направим следната операция, за да я проверим:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

И както виждаме, -6 е истинско число, въпреки че е получено чрез умножаването на две чисти въображаеми числа.

Продукт на истинско число от друго въображаемо

Ако реално число се умножи по i, резултатът ще бъде въображаемо число, което съответства на въртене на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка.

И това е, че i ² съответства на две последователни завъртания от 90 градуса, което е еквивалентно на умножаването на -1, тоест i ² = -1. Може да се види на следната диаграма:

Фигура 2. Умножението по въображаемата единица i съответства на 90 ° въртене обратно на часовниковата стрелка. Източник: wikimedia commons.

Например:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Овластяване на въображаемо

Можете да определите потенциала на въображаемо число към цяло число:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Като цяло имаме че i ⁿ = i ^ (n mod 4), където mod е остатъка от разделението между n и 4.

Отрицателното цяло число може също да се направи:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Като цяло въображаемото число b⋅i, издигнато до мощността n, е:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Някои примери са следните:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Сума от реално число и въображаемо число

Когато добавите реално число с въображаемо, резултатът не е нито реален, нито въображаем, той е нов тип число, наречен сложно число.

Например, ако X = 3.5 и Y = 3.75i, тогава резултатът е сложното число:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Обърнете внимание, че реалните и въображаемите части не могат да бъдат групирани в сбора, така че сложното число винаги ще има реална и въображаема част.

Тази операция разширява набора от реални числа до най-голямото от сложните числа.

Приложения

Името на въображаеми числа е предложено от френския математик Рене Декарт (1596-1650) като подигравка или несъгласие с предложението на същото, направено от италианския математик от века Рафаел Бомбели.

Други велики математици, като Ойлер и Лайбниц, подкрепиха Декарт в това несъгласие и нарекоха въображаеми числа амфибийни числа, които бяха разкъсани между битие и нищо.

Името на въображаемите числа остава и днес, но тяхното съществуване и значение е много реално и осезаемо, тъй като те се появяват естествено в много области на физиката като:

-Теорията на относителността.

-В електромагнетизма.

-Квантова механика.

Упражнения с въображаеми числа

- Упражнение 1

Намерете решенията на следното уравнение:

z ² + 16 = 0

Решение

z ² = -16

Като вземаме квадратен корен и в двата члена, имаме:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

С други думи, решенията на първоначалното уравнение са:

z = + 4i унция = -4i.

- Упражнение 2

Намерете резултата от издигането на въображаемата единица до мощността 5 минус изваждането на въображаемата единица, повдигната до мощността -5.

Решение

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Упражнение 3

Намерете резултата от следната операция:

(3i) ³ + 9i

Решение

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Упражнение 4

Намерете решенията на следното квадратично уравнение:

(-2x) ² + 2 = 0

Решение

Уравнението е пренаредено, както следва:

(-2x) ² = -2

Тогава се взема квадратният корен и на двата члена

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Тогава решаваме за х най-накрая да получим:

x = ± √2 / 2 i

Тоест, има две възможни решения:

x = (√2 / 2) i

Или това друго:

x = - (√2 / 2) i

- Упражнение 5

Намерете стойността на Z, дефинирана от:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Решение

Знаем, че квадратният корен на отрицателно реално число е въображаемо число, например √ (-9) е равно на √ (9) x √ (-1) = 3i.

От друга страна, √ (-4) е равно на √ (4) x √ (-1) = 2i.

Така оригиналното уравнение може да бъде заменено с:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Упражнение 6

Намерете стойността на Z, получена от следното деление на две сложни числа:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Решение

Числителят на израза може да бъде фактуриран с помощта на следното свойство:

Така:

Z = / (3 + i)

Полученият израз е опростен по-долу, оставяйки

Z = (3 - i)

Препратки

1. Граф, Р. Сложни числа. Възстановено от: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Математика 1-ви. Разделност. CO-BO издания.
3. Hoffmann, J. 2005. Избор на теми по математика. Публикации в Монфор.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Въображаем номер. Възстановено от: en.wikipedia.org