ИРАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА: ИСТОРИЯ, СВОЙСТВА, КЛАСИФИКАЦИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На ирационално номера са тези, чиято експресия е безкрайно фигури десетични без повтарящ се модел, следователно, не може да бъде получено от съотношението между две числа.

Сред най-известните ирационални числа са:

Фигура 1. Отгоре надолу следните ирационални числа: пи, числото на Ойлер, златното съотношение и два квадратни корена. Източник: Pixabay

Сред тях, без съмнение, π (pi) е най-познат, но има много повече. Всички те принадлежат към множеството реални числа, което е числовият набор, който групира рационални и ирационални числа.

Елипсата на фигура 1 показва, че десетичните знаци продължават за неопределено време. Това, което се случва е, че пространството на обикновените калкулатори позволява само няколко да се показват.

Ако погледнем внимателно, всеки път, когато направим коефициентът между две цели числа, получаваме десетична стойност с ограничени цифри или ако не, с безкрайни цифри, в които едно или повече се повтарят. Е, това не се случва с ирационални числа.

История на ирационални числа

Големият древен математик Питагор, роден през 582 г. пр. Н. Е. В Самос, Гърция, основава питагорейската школа на мисълта и откри известната теорема, която носи неговото име. Имаме го долу вляво (вавилонците може би са го знаели много преди това).

Фигура 2. Питагоровата теорема, приложена към триъгълник със страни, равни на 1. Източник: Pixabay / Wikimedia Commons.

Е, когато Питагор (или вероятно негов ученик) приложи теоремата върху десен триъгълник със страни, равни на 1, той намери ирационалното число √2.

Той го направи по този начин:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

И веднага разбра, че това ново число не идва от коефициента между две други естествени числа, които бяха познатите по това време.

Затова той го нарече ирационален и откритието предизвика голямо безпокойство и недоумение сред питагорейците.

Свойства на ирационалните числа

-В набор от всички ирационално номера е означен с буквата I и понякога като Q * или Q ^С. Съединението между ирационалните числа I или Q * и рационалните числа Q поражда множеството от реални числа R.

-С нерационални числа могат да се извършват известните аритметични операции: събиране, изваждане, умножение, деление, овластяване и други.

-Разделянето на 0 не е дефинирано и между ирационални числа.

- Сумата и произведението между ирационални числа не е непременно друго ирационално число. Например:

√2 x √8 = √16 = 4

И 4 не е нерационално число.

-Въпреки това, сумата от рационално число плюс ирационално число дава ирационален резултат. По този начин:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Продуктът на рационално число, различно от 0 по ирационално число, също е нерационален. Нека да разгледаме този пример:

2 x √2 = 2.828427125…

- Обратното на ирационалното води до друго ирационално число. Нека опитаме няколко:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Тези числа са интересни, защото са и стойностите на някои тригонометрични съотношения на известни ъгли. Повечето от тригонометричните съотношения са ирационални числа, но има изключения, като sin 30º = 0,5 = ½, което е рационално.

-В сумата са изпълнени комутативните и асоциативните свойства. Ако a и b са две ирационални числа, това означава, че:

a + b = b + a.

И ако c е друго ирационално число, тогава:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Разпределителното свойство на умножение по отношение на добавянето е друго добре познато свойство, което важи и за нерационалните числа. В такъв случай:

a. (b + c) = ab + ac

-На ирационален а има обратното: -а. Когато се добавят заедно, резултатът е 0:

a + (- a) = 0

-Между два различни рационала има поне едно ирационално число.

Местоположение на ирационално число на реалната линия

Реалната линия е хоризонтална линия, където са разположени действителните числа, от които важната част са ирационалните числа.

За да намерим ирационално число в реалната линия, в геометрична форма, можем да използваме теоремата на Питагор, владетел и компас.

Като пример ще намерим √5 в реалната линия, за която изчертаваме десен триъгълник със страни x = 2 и y = 1, както е показано на фигурата:

Фигура 3. Метод за намиране на ирационално число в реалната линия. Източник: Ф. Сапата.

Съгласно теоремата на Питагор, хипотенузата на такъв триъгълник е:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Сега компасът е поставен с точката в 0, където също е един от върховете на десния триъгълник. Точката на молива за компас трябва да бъде в върха А.

Начертана е дъга с обиколка, която се изрязва до реалната линия. Тъй като разстоянието между центъра на обиколката и всяка точка върху него е радиусът, който е равен на √5, точката на пресичане също е далеч √5 от центъра.

От графиката се вижда, че √5 е между 2 и 2.5. Калкулатор ни дава приблизителната стойност на:

√5 = 2,236068

И така, изграждайки триъгълник с подходящите страни, могат да бъдат разположени други ирационални, като √7 и други.

Класификация на ирационалните числа

Ирационалните числа се класифицират в две групи:

-Algebraic

-Трансцендентална или трансцендентална

Алгебраични числа

Алгебраичните числа, които могат или не могат да бъдат ирационални, са решения на полиномни уравнения, чиято обща форма е:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Пример за полиномно уравнение е квадратично уравнение като това:

x ³ - 2x = 0

Лесно е да се покаже, че ирационалното число √2 е едно от решенията на това уравнение.

Трансцендентни числа

От друга страна, трансцендентните числа, въпреки че са ирационални, никога не възникват като решение на полиномно уравнение.

Трансцендентните числа, намиращи се най-често в приложната математика, са π, поради връзката му с обиколката и числото e, или числото на Ойлер, което е основата на естествените логаритми.

Упражнение

Сив квадрат е поставен върху черен квадрат в положението, посочено на фигурата. Знае се, че площта на черния квадрат е 64 cm ². Колко са дължините на двата квадрата?

Фигура 4. Два квадрата, от които искаме да намерим дължината на страните. Източник: Ф. Сапата.

Отговор

Площта на квадрат със страна L е:

A = L ²

Тъй като черният квадрат е с площ 64 cm ², неговата страна трябва да е 8 cm.

Това измерване е същото като диагонала на сивия квадрат. Прилагайки теоремата на Питагора към този диагонал и не забравяйки, че страните на квадрат измерват едно и също, ще имаме:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Където L _g е страната на сивия квадрат.

Следователно: 2L _g ² = 8 ²

Прилагане на квадратен корен от двете страни на равенството:

L _g = (8 / √2) cm

Препратки

1. Карена, М. 2019. Предуниверситетско ръководство по математика. Националният университет на Литорала.
2. Figuera, J. 2000. Математика 9-ти. Степен. CO-BO издания.
3. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
4. Образователен портал. Ирационални числа и техните свойства. Възстановена от: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Ирационални числа. Възстановено от: es.wikipedia.org.