ОСНОВНИ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- простите числа, наричани също председатели абсолютни, са тези естествени числа, които са само дели на себе си и 1. Тази категория номера като 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, както и много плюс.

Вместо това, съставно число е делимо само по себе си на 1 и поне едно друго число. Имаме например 12, което се дели на 1, 2, 4, 6 и 12. По конвенция 1 не е включен в списъка на прости числа или в списъка на съединенията.

Фигура 1. Някои прости числа. Източник: Wikimedia Commons.

Знанията за прости числа датират от древни времена; древните египтяни вече са ги използвали и те със сигурност са били известни много преди.

Тези числа са много важни, тъй като всяко естествено число може да бъде представено от произведението на прости числа, като това представяне е уникално, освен в реда на факторите.

Този факт е напълно установен в теорема, наречена Фундаментална теория на аритметиката, която гласи, че числата, които не са прости, задължително се състоят от произведения от числа, които са.

Характеристики на прости числа

Ето основните характеристики на прости числа:

-Те са безкрайни, тъй като независимо колко голямо е основното число, винаги можете да намерите по-голямо.

-Ако просто число p не точно дели друго число a, тогава се казва, че p и a са прости един на друг. Когато това се случи, единственият общ делител, който имат и двамата, е 1.

Не е необходимо а да е абсолютен премиер. Например 5 е първостепенно и въпреки че 12 не е, и двете числа са прости едно на друго, тъй като и двете имат 1 като общ делител.

-Когато просто число p дели мощност на числото n, то също дели n. Нека разгледаме 100, което е мощност от 10, по-точно 10 ². Случва се 2 да делят и 100, и 10.

-Всички прости числа са нечетни с изключение на 2, следователно последната му цифра е 1, 3, 7 или 9. 5 не е включена, защото макар да е нечетно и просто, тя никога не е окончателната цифра на друго просто число. Всъщност всички числа, които завършват с 5, са кратни на това и следователно те не са първични.

-Ако p е просто и делител на произведението на две числа ab, тогава p разделя едно от тях. Например, простият номер 3 дели произведението 9 x 11 = 99, тъй като 3 е делител на 9.

Как да разбера дали числото е основно

Първичност е името, дадено на качеството на първостепенно качество. Е, френският математик Пиер дьо Фермат (1601-1665) намери начин да провери първичността на число в така наречената малка теорема на Ферма, която гласи така:

„Като се има предвид естественото естествено число p и всяко естествено число, по-голямо от 0, вярно е, че ^p - a е кратно на p, стига p да е просто“.

Можем да потвърдим това, използвайки малки числа, например да предположим, че p = 4, което вече знаем, не е просто и вече е = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Числото 1290 не е точно делимо на 4, следователно 4 не е просто число.

Нека сега направим теста с p = 5, което е просто и ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 се дели на 5, тъй като всяко число, което завършва с 0 или 5, е. Всъщност 7760/5 = 1554. Тъй като малката теорема на Ферма е в сила, можем да гарантираме, че 5 е просто число.

Доказателството чрез теоремата е ефективно и директно с малки числа, в които операцията е лесна за извършване, но какво да правим, ако бъдем помолени да разберем първичността на голямо число?

В този случай числото се разделя последователно между всички по-малки прости числа, докато не се намери точно деление или коефициентът е по-малък от делителя.

Ако всяко деление е точно, това означава, че числото е съставно и ако коефициентът е по-малък от делителя, това означава, че числото е просто. Ще го приложим на практика в решено упражнение 2.

Начини за намиране на просто число

Има безкрайно много прости числа и няма единна формула, която да ги определи. Въпреки това, гледайки някои прости числа като тези:

3, 7, 31, 127…

Наблюдава се, че те са с форма 2 ⁿ - 1, с n = 2, 3, 5, 7, 9… Уверяваме се в това:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Но не можем да гарантираме, че като цяло 2 ⁿ - 1 е първостепенно, тъй като има някои стойности на n, за които не работи, например 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

И числото 15 не е първостепенно, тъй като завършва на 5. Обаче един от най-големите известни прайми, открити с компютърни изчисления, е с форма 2 ⁿ - 1 с:

n = 57,885,161

Формулата на Мерсен ни уверява, че 2 ^p - 1 винаги е първостепенен, стига и p да е основен. Например 31 е първостепенно, така че е сигурно, че 2 ³¹ - 1 също е първостепенен:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Формулата обаче ви позволява да определите само някои прости числа, не всички.

Формулата на Ойлер

Следният полином позволява намирането на прости числа при условие, че n е между 0 и 39:

P (n) = n ² + n + 41

По-късно в раздела за решените упражнения има пример за неговото използване.

Ситото на Ератостен

Ератостен е бил физик и математик от Древна Гърция, живял през 3 век пр.н.е.

-Четата са поставени в таблица като тази, показана в анимацията.

-Според четните числа се зачеркват, с изключение на 2, за които знаем, че са първи. Всички останали са кратни на това и следователно не са първостепенни.

-Метриците от 3, 5, 7 и 11 също са маркирани, като се изключат всички, защото знаем, че са първи.

- Множествата от 4, 6, 8, 9 и 10 са вече маркирани, защото са съставни и следователно кратни на някои от посочените прайми.

-Накрая числата, които остават без маркировка, са първи.

Фигура 2. Анимация на ситото Eratosthenes. Източник: Wikimedia Commons.

Упражнения

- Упражнение 1

Използвайки полинома на Ойлер за прости числа, намерете 3 числа по-големи от 100.

Решение

Това е полиномът, който Ойлер предложи да намери прости числа, който работи за стойности от n между 0 и 39.

P (n) = n ² + n + 41

По опит и грешка избираме стойност от n, например n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Тъй като n = 8 произвежда просто число, по-голямо от 100, тогава оценяваме полинома за n = 9 и n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Упражнение 2

Разберете дали следните числа са първи:

а) 13

б) 191

Решение за

13-те са достатъчно малки, за да използват малката теорема на Фермат и помощта на калкулатора.

Използваме a = 2, така че числата да не са твърде големи, въпреки че a = 3, 4 или 5 също могат да бъдат използвани:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 е делимо на 2, тъй като е четно, следователно 13 е първостепенно. Читателят може да потвърди това, като направи същия тест с a = 3.

Решение b

191 е твърде голям, за да се докаже с теоремата и общ калкулатор, но можем да намерим разделението между всяко просто число. Пропускаме разделянето с 2, защото 191 не е равномерно и делението няма да е точно или коефициентът е по-малък от 2.

Опитваме се да разделим на 3:

191/3 = 63 666…

И не дава точност, нито коефициентът е по-малък от делителя (63 666… е по-голям от 3)

Продължаваме по този начин, опитвайки се да разделим 191 между праймите 5, 7, 11, 13 и не се достига точното разделение, нито коефициентът по-малък от делителя. Докато не бъде разделена на 17:

191/17 = 11, 2352…

Тъй като не е точно и 11.2352… е по-малко от 17, числото 191 е първостепенно.

Препратки

1. Балдор, А. 1986. Аритметика. Издания и дистрибуции Codex.
2. Прието, В. Първичните числа. Възстановено от: paginas.matem.unam.mx.
3. Свойства на прости числа. Възстановено от: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Основни числа: как да ги намерите със ситото Eratosthenes. Възстановено от: smartick.es.
5. Wikipedia. Просто число. Възстановено от: es.wikipedia.org.