РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ И ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- рационални числа са всички номера, могат да се получат като разделянето на две числа. Примери за рационални числа са: 3/4, 8/5, -16/3 и тези, които се появяват на следната фигура. В рационално число е посочен коефициентът, като е възможно да го направите по-късно, ако се наложи.

Фигурата представлява всеки предмет, кръгъл за по-голям комфорт. Ако искаме да го разделим на 2 равни части, както в дясната, имаме две половини вляво и всяка от тях е на стойност 1/2.

Фигура 1. Рационалните числа се използват за разделяне на цялото на няколко части. Източник: Freesvg.

Разделяйки го на 4 равни части, ще получим 4 броя и всяко от тях струва 1/4, както е на изображението в центъра. И ако трябва да бъде разделена на 6 равни части, всяка част би струвала 1/6, което виждаме на изображението отляво.

Разбира се, бихме могли да го разделим и на две неравномерни части, например можем да запазим 3/4 части и да спестим 1/4 част. Възможни са и други разделения, като 4/6 части и 2/6 части. Важното е, че сборът на всички части е 1.

По този начин е очевидно, че с рационални числа, неща като храна, пари, земя и всякакви предмети могат да бъдат разделени, преброени и разпределени на части. И така се разширява броят на операциите, които могат да се извършват с числа.

Рационалните числа могат да бъдат изразени и в десетична форма, както може да се види в следните примери:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

По-късно ще посочим как да преминем от една форма към друга с примери.

Свойства на рационалните числа

Рационалните числа, чийто набор ще обозначим с буквата Q, имат следните свойства:

-Q включва естествени числа N и цели числа Z.

Като се вземе предвид, че всяко число a може да бъде изразено като коефициент между себе си и 1, лесно е да се види, че сред рационалните числа има и естествени числа и цели числа.

Така естественото число 3 може да бъде записано като дроб, а също и -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

По този начин Q е числов набор, който включва по-голям брой числа, нещо много необходимо, тъй като "кръглите" числа не са достатъчни, за да опишат всички възможни операции, които трябва да извършите.

-Рационални числа могат да се добавят, изваждат, умножават и делят, като резултатът от операцията е рационално число: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) х (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Между всяка двойка рационални числа винаги може да се намери друго рационално число. Всъщност между две рационални числа има безкрайно рационални числа.

Например между рационалите 1/4 и 1/2 са рационалите 3/10, 7/20, 2/5 (и много други), които могат да бъдат проверени чрез изразяването им като десетични знаци.

-Всяко рационално число може да се изрази като: i) цяло число или ii) ограничено (строго) или периодично десетично число: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Също число може да бъде представено от безкрайни еквивалентни дроби и всички те принадлежат на Q. Нека да видим тази група:

Всички те представляват десетичната стойност 0.428571…

- От всички еквивалентни дроби, които представляват едно и също число, неприводимата фракция, най-простата от всички, е каноничният представител на това число. Каноничният представител на примера по-горе е 3/7.

Фигура 2. - Множеството Q на рационалните числа. Източник: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Примери за рационални числа

-Разни фракции, тези, в които числителят е по-малък от знаменателя:

-Имперни дроби, чийто числител е по-голям от знаменателя:

-Натурални числа и цели числа:

-Еквивалентни фракции:

Десетично представяне на рационално число

Когато числителят е разделен на знаменателя, се намира десетичната форма на рационалното число. Например:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

В първите два примера броят на десетичните знаци е ограничен. Това означава, че когато се раздели, накрая се получава остатък от 0.

От друга страна, в следващите два броя броят на десетичните знаци е безкраен и затова е поставена елипсата. В последния случай в децималите има модел. В случая на дроб 1/9 числото 1 се повтаря за неопределено време, докато в 6/11 е 54.

Когато това се случи, се казва, че десетичният е периодичен и се обозначава с карета така:

Преобразувайте десетичната във дроб

Ако това е ограничен десетичен знак, запетаята се елиминира и знаменателят се превръща в единицата, последвана от толкова нули, колкото има цифри в десетичната. Например, за да трансформирате десетичната 1,26 в дроб, напишете го така:

1,26 = 126/100

Тогава получената фракция се опростява до максимум:

126/100 = 63/50

Ако десетичният номер е неограничен, първо се идентифицира периодът. След това се следват тези стъпки, за да намерите получената фракция:

-Числителят е изваждането между числото (без запетая или каре) и частта, която няма каретата.

-Запознавачът е цяло число с толкова 9, колкото има фигури под обиколката, и толкова 0, колкото има цифри в десетичната част, които не са под обиколката.

Нека следваме тази процедура, за да преобразуваме десетичното число 0.428428428… в дроб.

-Първо, периодът се идентифицира, която е последователността, която се повтаря: 428.

-Тогава се извършва операцията по изваждане на числото без запетая или акцент: 0428 от частта, която няма обиколка, което е 0. Това е 428 - 0 = 428.

-Съединителят е конструиран, знаейки, че под криволинията има 3 фигури и всички са под криволинията. Следователно знаменателят е 999.

-Накрая фракцията се формира и опростява, ако е възможно:

0,428 = 428/999

Не е възможно да се опрости повече.

Операции с рационални числа

- Добавяне и изваждане

Дроби с един и същ знаменател

Когато дробите имат един и същ знаменател, добавянето и / или изваждането им е много лесно, тъй като числителите просто се добавят алгебрично, оставяйки същите като добавките като знаменателя на резултата. Накрая, ако е възможно, се опростява.

пример

Изпълнете следното алгебрично допълнение и опростете резултата:

Получената фракция вече е неприводима.

Дроби с различни знаменатели

В този случай добавките се заменят с еквивалентни дроби с един и същ знаменател и след това се следва описаната вече процедура.

пример

Добавете алгебрично следните рационални числа, опростявайки резултата:

Стъпките са:

-Определете най-малко често срещаното множество (lcm) на знаменателите 5, 8 и 3:

lcm (5,8,3) = 120

Това ще бъде знаменателят на получената фракция без опростяване.

-За всяка част: разделете LCM на знаменателя и умножете по числителя. Резултатът от тази операция се поставя със съответния знак в числителя на дроби. По този начин се получава дроб, еквивалентен на оригинала, но с LCM като знаменател.

Например, за първата дроб числителят е конструиран така: (120/5) x 4 = 96 и получаваме:

Продължете по същия начин за останалите фракции:

Накрая, еквивалентните дроби се заменят, без да се забравя техният знак и се извършва алгебраичната сума на числителите:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Умножение и деление

Умножението и делението се извършват, следвайки правилата, показани по-долу:

Фигура 3. Правила за умножение и деление на рационални числа. Източник: Ф. Сапата.

Във всеки случай е важно да запомните, че умножението е комутативно, което означава, че редът на факторите не променя продукта. Това не се случва с разделение, така че трябва да се внимава да се спазва редът между дивидент и делител.

Пример 1

Извършете следните операции и опростете резултата:

а) (5/3) x (8/15)

б) (-4/5) ÷ (2/9)

Отговор на

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Отговор b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Пример 2

Луиза имаше 45 долара. Той похарчи една десета от него, купувайки книга и 2/5 от това, което остана върху тениска. Колко пари са ви останали Луиза? Изразете резултата като неприводима фракция.

Решение

Цената на книгата (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Затова Луиза остана с:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

С тези пари Луиза отишла в магазина за дрехи и купи ризата, чиято цена е:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

Сега Луиза има в своето портфолио:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

За да го изразите като дроб, се пише така:

24,3 = 243/10

Това е неприложимо.

Препратки

1. Балдор, А. 1986. Аритметика. Издания и дистрибуции Codex.
2. Карена, М. 2019. Наръчник по математика. Националният университет на Литорала.
3. Figuera, J. 2000. Математика 8. Ediciones Co-Bo.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Рационалните числа. Възстановено от: Cimanet.uoc.edu.
6. Рационални числа. Възстановено от: webdelprofesor.ula.ve.