РЕАЛНИ ЧИСЛА: ИСТОРИЯ, ПРИМЕРИ, СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В реалните числа представляват цифровата комплект, който включва естествени числа, числа, рационалното и ирационалното. Те се означават със символа ℝ или просто R, а обхватът им в науката, инженерството и икономиката е такъв, че когато говорим за „число“, почти се приема за даденост, че е реално число.

Истинските числа се използват от древни времена, въпреки че не им е дадено това име. От времето, когато Питагор разработва своята известна теорема, се появяват числа, които не могат да бъдат получени като коефициенти на естествени числа или цели числа.

Фигура 1. Диаграма на Venn, показваща как множеството от реални числа съдържа останалите множества от числа. Източник> Wikimedia Commons.

Примери за числа са √2, √3 и π. Тези числа се наричат ​​нерационални, за разлика от рационалните числа, които идват от коефициентите на цели числа. Следователно беше необходимо числово множество, което обхваща и двата класа числа.

Терминът "реално число" е създаден от големия математик Рене Декарт (1596-1650), за да направи разлика между двата вида корени, които могат да възникнат при решаването на полиномно уравнение.

Някои от тези корени могат да бъдат дори корени на отрицателни числа, Декарт нарича тези „въображаеми числа“, а тези, които не са, бяха реални числа.

Деноминацията се запазва във времето, създавайки два големи числови множества: реалните числа и сложните числа, по-голям набор, включващ реални числа, въображаеми числа и тези, които са част реални и частично въображаеми.

Еволюцията на реалните числа продължи своя ход, докато през 1872 г. математикът Ричард Дедекинд (1831-1936) официално определи набора от реални числа чрез така наречените съкращения на Дедекинд. Синтезът на неговото творчество е публикуван в статия, която видя светлината същата година.

Примери за реални числа

Таблицата по-долу показва примери за реални числа. Този набор има подмножества на естествените числа, целите числа, рационалното и ирационалното. Всяко число от тези набори само по себе си е реално число.

Следователно 0, отрицателни, положителни, дроби и десетични знаци са реални числа.

Фигура 2. Примери за реални числа са естествени, цели, рационални, ирационални и трансцендентни. Източник: Ф. Сапата.

Представяне на реални числа на реалната линия

Реалните числа могат да бъдат представени на реалната линия R, както е показано на фигурата. Не е необходимо 0 да е винаги, но е удобно да се знае, че отрицателните реалности са отляво, а положителните - отдясно. Ето защо тя е отлична отправна точка.

На реалната линия се прави скала, в която се намират целите числа:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Стрелката показва, че линията се простира до безкрайност. Но това не е всичко, във всеки разглеждан интервал винаги ще намираме и безкрайни реални числа.

Реалните числа са представени по ред. Като начало е редът на целите числа, в които положителните са винаги по-големи от 0, докато отрицателните са по-малко.

Тази поръчка се запазва в реалните числа. Следните неравенства са показани като пример:

а) -1/2 <√2

б) е <π

в) π> -1/2

Фигура 3.- Реалната линия. Източник: Wikimedia Commons.

Свойства на реалните числа

-Реалните числа включват естествени числа, цели числа, рационални числа и ирационални числа.

-Комутативното свойство на добавяне е изпълнено: редът на добавките не променя сумата. Ако a и b са две реални числа, винаги е вярно, че:

a + b = b + a

-0 е неутралният елемент на сумата: a + 0 = a

-За сумата е изпълнено асоциативното свойство. Ако a, b и c са реални числа: (a + b) + c = a + (b + c).

-Обратното на реално число е -a.

-Вземането се определя като сумата на обратното: a - b = a + (-b).

-Комутативното свойство на продукта е изпълнено: редът на факторите не променя продукта: ab = ba

-В продукта се прилага и асоциативното свойство: (ab).c = a. (Bc)

-1 е неутралният елемент на умножението: a.1 = a

-Разпределителното свойство на умножение е валидно по отношение на добавянето: a. (b + c) = ab + ac

-Разделяне с 0 не е дефинирано.

-Всяко реално число a, с изключение на 0, има мултипликативна обратна на ^-1 такава, че aa ^-1 = 1.

-Ако a е реално число: a ⁰ = 1 и a ¹ = a.

-Абсолютната стойност или модул на реално число е разстоянието между споменатото число и 0.

Операции с реални числа

С реалните числа можете да извършвате операциите, които се извършват с останалите набори от числа, включително събиране, изваждане, умножение, деление, овластяване, радикация, логаритми и други.

Както винаги, делението на 0 не е дефинирано, нито има отрицателни логаритми на числа или 0, въпреки че е вярно, че log 1 = 0 и логаритмите на числата между 0 и 1 са отрицателни.

Приложения

Приложенията на реални числа във всякакви ситуации са изключително разнообразни. Реалните числа се появяват като отговор на много проблеми в точната наука, компютърните науки, инженерството, икономиката и социалните науки.

Всички видове величини и количества, като разстояния, времена, сили, интензитет на звука, пари и много други, имат своето изражение в реални числа.

Предаването на телефонни сигнали, изображението и звукът на видео, температурата на климатик, нагревател или хладилник може да се контролира цифрово, което означава преобразуване на физическите количества в числови последователности.

Същото се случва и при извършване на банкова транзакция през Интернет или консултиране за незабавни съобщения. Реалните числа са навсякъде.

Упражнението е разрешено

С упражненията ще видим как работят тези числа в често срещани ситуации, с които се сблъскваме ежедневно.

Упражнение 1

Пощата приема само пакети, за които дължината плюс измерването на обхвата не надвишава 108 инча. Следователно, за да бъде приет показаният пакет, трябва да бъде изпълнено, че:

L + 2 (x + y) ≤ 108

а) Ще направи ли пакет с ширина 6 инча, височина 8 инча и дължина 5 фута?

б) Какво ще кажете за един, който измерва 2 x 2 x 4 ft ³ ?

в) Каква е най-високата приемлива височина за пакет, чиято основа е квадратна и е с размери 9 х 9 инча ² ?

Отговор на

L = 5 фута = 60 инча

x = 6 инча

y = 8 инча

Операцията за решаване е:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) инча = 60 + 2 х 14 инча = 60 + 28 инча = 88 инча

Пакетът се приема.

Отговор b

Размерите на този пакет са по-малки от пакет a), така че и двамата го правят.

Отговор c

В този пакет:

x = L = 9 инча

Трябва да се отбележи, че:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

и ≤ 40,5 инча

Препратки

1. Карена, М. 2019. Предуниверситетско ръководство по математика. Националният университет на Литорала.
2. Диего, А. Реални числа и техните свойства. Възстановено от: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Математика 9-ти. Степен. CO-BO издания.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5-ти. Edition. Учене в Cengage.