ТРАНСЦЕНДЕНТНИ ЧИСЛА: КАКВИ СА ТЕ, ФОРМУЛИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На номера трансцедентни са тези, които не може да бъде получен, както в резултат на полином уравнение. Обратното на трансцендентно число е алгебрично число, които са решения на полиномно уравнение от типа:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +…… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Където коефициентите a _n, a _n-1,….. a ₂, a ₁, ₀ са рационални числа, наречени коефициенти на полинома. Ако числото x е решение на предишното уравнение, тогава това число не е трансцендентно.

Фигура 1. Две числа от голямо значение в науката са трансцендентните числа. Източник: publicdomainpictures.net.

Ще анализираме няколко числа и ще видим дали те са трансцендентни или не:

а) 3 не е трансцендентен, защото е решение на x - 3 = 0.

б) -2 не може да бъде трансцендентен, защото е решение на x + 2 = 0.

в) ⅓ е решение на 3x - 1 = 0

г) Решение на уравнението x ² - 2x + 1 = 0 е √2 -1, така че това число по дефиниция не е трансцендентно.

д) Нито е √2, защото е резултат от уравнението x ² - 2 = 0. Чрез квадратиране √2 се получава 2, което се изважда от 2 е равно на нула. Така че √2 е ирационално число, но не е трансцендентно.

Какво представляват трансцендентните числа?

Проблемът е, че няма общо правило за получаването им (ще кажем начин по-късно), но някои от най-известните са числото pi и числото на Непер, обозначени съответно с: π и e.

Числото π

Числото π се появява естествено, като се наблюдава, че математическият коефициент между периметъра P на една окръжност и нейния диаметър D, независимо дали е малък или голям кръг, винаги дава едно и също число, наречено pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Това означава, че ако диаметърът на обиколката се вземе за мерна единица, за всички тях, големи или малки, периметърът винаги ще бъде P = 3.14… = π, както може да се види в анимацията на фигура 2.

Фигура 2. Дължината на периметъра на окръжност е pi пъти дължината на диаметъра, като pi е приблизително 3,1416.

За да се определят повече десетични знаци, е необходимо да се измери P и D с по-голяма точност и след това да се изчисли коефициентът, което е направено математически. Изводът е, че десетичните знаци на коефициента нямат край и никога не се повтарят, така че числото π, освен че е трансцендентно, е и ирационално.

Ирационалното число е число, което не може да бъде изразено като деление на две цели числа.

Известно е, че всяко трансцендентно число е ирационално, но не е вярно, че всички ирационални числа са трансцендентни. Например √2 е ирационален, но не е трансцендентен.

Фигура 3. Трансцендентните числа са ирационални, но обратното не е вярно.

Числото e

Трансцендентното число e е основата на естествените логаритми и десетичното му приближение е:

и ≈ 2.718281828459045235360….

Ако искате да напишете точно числото е, ще е необходимо да напишете безкрайни десетични знаци, защото всяко трансцендентно число е ирационално, както беше казано преди.

Първите десет цифри на e се запомнят лесно:

2,7 1828 1828 и макар да изглежда, че следва повтарящ се модел, това не се постига при десетични знаци от порядък по-голям от девет.

По-официалното определение на e е следното:

Това означава, че точната стойност на e се получава, като се извърши операцията, посочена в тази формула, когато естественото число n има тенденция към безкрайност.

Това обяснява защо можем да получим само приближения на e, тъй като колкото и голямо да е числото n, винаги може да се намери по-голямо n.

Нека намерим някои приближения сами:

-Когато n = 100 тогава (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, което едва ли съвпада в първата десетична стойност с „истинската“ стойност на e.

-Ако изберете n = 10 000, имате (1 + 1 / 10,000) ^{10 000} = 2,71815, което съвпада с „точната“ стойност на e в първите три десетични знака.

Този процес трябва да се следва безкрайно, за да се получи „истинската“ стойност на e. Не мисля, че имаме време да го направим, но нека опитаме още едно:

Нека използваме n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

Това има само четири десетични знака, които съответстват на стойността, считана за точна.

Важното е да разберете, че колкото по-висока е стойността на n, избрана за изчисляване на e _n, толкова по-близо ще бъде тя до истинската стойност. Но тази истинска стойност ще има само когато n е безкраен.

Фигура 4. Графично е показано как колкото по-висока е стойността на n, толкова по-близо до e, но за да достигнем точната стойност n, трябва да е безкрайна.

Други важни числа

Освен тези известни числа има и други трансцендентни числа, например:

- 2 ^√2

-Номето на Champernowne в база 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Номето на Champernowne в база 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Гама номер γ или константа на Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Което се получава, като се направи следното изчисление:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Защото когато n е много много голям. За да имате точната стойност на Gamma числото, е необходимо изчислението да се извърши с n безкрайност. Нещо подобно на това, което направихме по-горе.

И има много повече трансцендентни числа. Големият математик Георг Кантор, роден в Русия и живеещ между 1845 и 1918 г., показа, че множеството от трансцендентни числа е много по-голямо от множеството алгебрични числа.

Формули, където се появява трансцендентното число π

Периметърът на обиколката

P = π D = 2 π R, където P е периметърът, D диаметърът и R радиусът на обиколката. Трябва да се помни, че:

-Диаметърът на обиколката е най-дългият сегмент, който свързва две точки от една и съща и който винаги минава през центъра му,

-Радиусът е половин диаметър и е сегментът, който отива от центъра към ръба.

Площ на кръг

A = π R ² = ¼ π D ²

Повърхност на сфера

S = 4 π R2 .

Да. Въпреки че може да не изглежда така, повърхността на една сфера е същата като тази на четири кръга със същия радиус като на сферата.

Обем на сферата

V = 4/3 π R ³

Упражнения

- Упражнение 1

Пицария „EXÓTICA“ продава пици с три диаметра: малки 30 см, средни 37 см и големи 45 см. Едно момче е много гладно и разбра, че две малки пици струват същото като една голяма. Какво ще бъде по-добре за него, да си купи две малки пици или една голяма?

Фигура 5. - Площта на пица е пропорционална на квадрата на радиуса, като pi е константата на пропорционалност. Източник: Pixabay

Решение

Колкото по-голяма е площта, толкова по-голямо е количеството пица, поради което площта на голяма пица ще бъде изчислена и сравнена с тази на две малки пици:

Площ на голямата пица = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Площ на малката пица = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Следователно две малки пици ще имат площ от

2 х 706,86 = 1413,72 см ².

Ясно е: ще имате по-голямо количество пица, купувайки една голяма голяма, отколкото две малки.

- Упражнение 2

Пицария „EXÓTICA“ също продава полусферична пица с радиус от 30 см на същата цена като правоъгълна с размери 30 х 40 см от всяка страна. Кой би избрал?

Фигура 6. - Повърхността на полукълбо е два пъти по-голяма от кръглата повърхност на основата. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Както бе споменато в предишния раздел, площта на една сфера е четири пъти по-голяма от кръг със същия диаметър, така че полукълбо с диаметър 30 ​​см ще има:

30 см полусферична пица: 1413,72 см ² (два пъти кръг със същия диаметър)

Правоъгълна пица: (30 см) х (40 см) = 1200 см ².

Полусферичната пица има по-голяма площ.

Препратки

1. Fernández J. Числото e. Произход и куриози. Възстановени от: soymatematicas.com
2. Насладете се на математиката. Номер на Ойлер. Възстановени от: enjolasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Математика 1-ви. Разделност. CO-BO издания.
4. Гарсия, М. Числото е в елементарно смятане. Възстановени от: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI номер. Възстановено от: wikipedia.com
6. Wikipedia. Трансцендентни числа. Възстановено от: wikipedia.com