ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЪГЛИ: КАКВИ СА ТЕ, ИЗЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Два или повече са допълнителни ъгли, ако сумата от техните мерки съответства на мярката на прав ъгъл. Мярката на прав ъгъл, наричан още равнинен ъгъл, в градуси е 180º, а в радианите е π.

Например, откриваме, че трите вътрешни ъгъла на триъгълник са допълнителни, тъй като сумата от техните мерки е 180º. Три ъгъла са показани на фигура 1. От горното следва, че α и β са допълващи, тъй като са съседни и тяхната сума завършва с прав ъгъл.

Фигура 1: α и β са допълнителни. α и γ са допълнителни. Източник: Ф. Сапата.

Също на същата фигура имаме ъглите α и γ, които също са допълнителни, тъй като сумата от техните мерки е равна на мярката на равнинен ъгъл, тоест 180º. Не може да се каже, че ъглите β и γ са допълнителни, тъй като и двата ъгъла са тъпи, техните мерки са по-големи от 90º и следователно тяхната сума надхвърля 180º.

Източник: lifeder.com

От друга страна, може да се каже, че мярката на ъгъла β е равна на мярката на ъгъла γ, тъй като ако β е допълнителен към α и γ е допълнителен към α, тогава β = γ = 135º.

Примери

В следващите примери се изисква да намери неизвестните ъгли, обозначени с въпросителни на фигура 2. Те варират от най-простите примери до някои малко по-сложни, че читателят трябва да бъде по-внимателен.

Фигура 2. Няколко разработени примера за допълнителни ъгли. Източник: Ф. Сапата.

Пример А

На фигурата имаме, че съседните ъгли α и 35º се прибавят към равнинен ъгъл. Тоест, α + 35º = 180º и следователно е вярно, че: α = 180º- 35º = 145º.

Пример Б

Тъй като β е допълнителен с ъгъла 50º, то следва, че β = 180º - 50º = 130º.

Пример С

От фигура 2В може да се наблюдава следната сума: γ + 90º + 15º = 180º. Тоест γ е допълнителен с ъгъла 105º = 90º + 15º. Тогава се заключава, че:

γ = 180º- 105º = 75º

Пример D

Тъй като X е допълнителна към 72º, от това следва, че X = 180º - 72º = 108º. Освен това Y е допълващ с X, така че Y = 180º - 108º = 72º.

И накрая Z се допълва със 72º, следователно Z = 180º - 72º = 108º.

Пример Е

Ъглите δ и 2δ са допълнителни, следователно δ + 2δ = 180º. Което означава, че 3δ = 180º, а това от своя страна ни позволява да пишем: δ = 180º / 3 = 60º.

Пример F

Ако наречем ъгъла между 100º и 50º U, тогава U е допълнителен и за двамата, защото се наблюдава, че тяхната сума завършва равнинен ъгъл.

Веднага следва, че U = 150º. Тъй като U е противоположна на върха на W, тогава W = U = 150º.

Упражнения

По-долу са предложени три упражнения, като във всички тях стойността на ъгли А и В трябва да се намери в градуси, така че да бъдат изпълнени връзките, показани на фигура 3. Концепцията за допълнителни ъгли се използва при решаването на всички тях.

Фигура 3. Фигура за решаване на упражнения I, II и III върху допълнителни ъгли. Всички ъгли са в градуси. Източник: Ф. Сапата.

- Упражнение I

Определете стойностите на ъгли A и B от част I) на фигура 3.

Решение

A и B са допълнителни, от които имаме, че A + B = 180 градуса, тогава изразът на A и B се замества като функция на x, както се вижда на изображението:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Получава се линейно уравнение от първи ред. За да се реши, термините са групирани по-долу:

6 x + 60 = 180

Разделяйки и двамата членове на 6 имаме:

x + 10 = 30

И накрая решавайки, следва, че х струва 20º.

Сега трябва да включим стойността на x, за да намерим исканите ъгли. Следователно ъгълът A е: A = 20 +15 = 35º.

А от своя страна ъгъл B е B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Упражнение II

Намерете стойностите на ъгли A и B от част II) на фигура 3.

Решение

Тъй като A и B са допълнителни ъгли, имаме че A + B = 180 градуса. Замествайки израза за A и B като функция на x, даден в част II) на фигура 3, имаме:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Отново се получава уравнение от първа степен, за което термините трябва да бъдат удобно групирани:

6 x + 60 = 180

Разделяйки и двамата членове на 6 имаме:

x + 10 = 30

От което следва, че x е на стойност 20º.

С други думи, ъгълът A = -2 * 20 + 90 = 50º. Докато ъгъл B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Упражнение III

Определете стойностите на ъгли A и B от част III) на фигура 3 (в зелено).

Решение

Тъй като A и B са допълнителни ъгли, имаме че A + B = 180 градуса. Трябва да заменим израза за A и B като функция на x, дадена на фигура 3, от която имаме:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Разделяйки и двата члена на 12, за да решим стойността на x, имаме:

x + 5 = 15

Накрая се установява, че х струва 10 градуса.

Сега продължаваме да заместваме, за да намерим ъгъла A: A = 5 * 10 -20 = 30º. И за ъгъл B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Допълнителни ъгли в два паралела, изрязани от секант

Фигура 4. Ъгли между два паралела, изрязани със секант. Източник: Ф. Сапата.

Две успоредни линии, отрязани от секант, са обща геометрична конструкция при някои проблеми. Между такива линии се оформят 8 ъгъла, както е показано на фигура 4.

От тези 8 ъгъла някои двойки ъгли са допълнителни, които изброяваме по-долу:

1. Външните ъгли A и B, а външните ъгли G и H
2. Вътрешните ъгли D и C, а вътрешните ъгли E и F
3. Външните ъгли A и G, а външните ъгли B и H
4. Вътрешните ъгли D и E, а интериорите C и F

За пълнота ъглите, равни един на друг, също се наричат:

1. Вътрешните се редуват: D = F и C = E
2. Външните се редуват: A = H и B = G
3. Съответните: A = E и C = H
4. Противоположностите по върховете A = C и E = H
5. Съответните: B = F и D = G
6. Върховният противоположност B = D и F = G

- Упражнение IV

Позовавайки се на фигура 4, която показва ъглите между две успоредни линии, отрязани от секант, определете стойността на всички ъгли в радиани, като знаете, че ъгълът A = π / 6 радиана.

Решение

A и B са допълнителни външни ъгли, така че B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Препратки

1. Балдор, JA 1973. Самолетна и космическа геометрия. Централноамериканска културна.
2. Математически закони и формули. Системи за измерване на ъгъл. Възстановено от: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Възстановено от: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Допълнителни ъгли. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Конвейер. Възстановено от: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: история, части, операция. Възстановено от: lifeder.com