РАЗРАБОТЕНА НОТАЦИЯ: КАКВО Е, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- развитата система за означаване е този, при който числена стойност се изразява като сума, в което стойността на мястото на всяка цифра, която прави този номер се взема предвид.

Например, когато пишете цифра като 2345, всяка цифра в нея има позиционна йерархия. Четейки от крайната дясна цифра вляво, йерархията или стойността нараства.

Фигура 1. С девет графема е възможно да се представи произволно число.

На фигура 2345 цифрата 5 представлява пет единици, цифрата 4 представлява четири десетки, 3 съответства на третата позиция отляво надясно и следователно 3 представлява три стотици, накрая 2 представлява две хиляди. С други думи, в развита или разширена нотация фигурата 2345 е написана така:

2345 = 2 хиляди + 3 стотици + 4 десетки + 5

Но може да се изрази и по следния начин:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Също така цифрата 2345 може да бъде записана като сбор от правомощия 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Където circumflex ^ означава издигане до посочения показател. Например, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Друг начин за писане на експонентите е чрез използване на суперскрипт:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Позиционна система за номериране

Арабската цифрова система са числата, които се използват ежедневно в огромното мнозинство континенти и страни по света. Арабските цифри са основна система 10, тъй като за писане на всяко число се използват десет символа или графеми. Тези десет символа са:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Само с един от тези символи могат да се изразят цифри между нула до девет. За изразяване на цифри, по-големи от девет, се използва позиционната система в база десет. Числото 10 е десет и нула. Числото 11 е десет и единица. Числото 123 (сто двадесет и три) е сто, две десетки и три. Написано под формата на правомощия от десет, числото 123 ще бъде:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Където:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

С този пример става ясно, че позицията на цифрата в крайната дясна част е позиция 0 и представлява броя на единиците, тази на втората цифра отдясно на ляво е позиция 1 и представлява броя на десетки, третата цифра (отдясно вляво) има позиция 2 и представлява стотиците.

Фигура 2. Разработена нотация на фигурата 123.

Дробни или десетични числа

С десетичната позиционна система също е възможно да се представят числа или цифри, които са по-малки от единицата или които са по-големи от единицата, но не и цели числа, тоест имат дроби на единицата.

За да представим фракцията 1/2 в арабската десетична система, тоест половината от единицата, се пише:

½ = 0,5

За да достигнем до този израз в нашата база 10 система, бяха извършени неявно следните операции:

1- Числителят и знаменателят се умножават по 5, за да има еквивалентната част 5/10 = 1/2.

2- Разделянето на 10 е еквивалентно на умножението по мощността в база десет с експонент минус едно (10 ^ -1), тоест 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- Отрицателният показател показва колко пъти е преместена или позиционирана показаната цифра отдясно от позицията на единицата, в нашия случай тя би била 0,5.

4- ½ = 0,5 в разширена нотация се записва така:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

Където 10 ^ -1 = 0.1 е една десета (фракцията, съответстваща на единицата, разделена на 10 равни части).

По този начин числото 0,5 съответства на пет десети, но числото 0,05 съответства на 5 стотни, а 0,005 на 5 хилядни.

Примери за разширена нотация

Пример 1

Като се има предвид цифрата 40201 в стандартна нотация, преобразувайте я в разширена нотация.

Решение:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

Пример 2

Напишете дроба ¾ в разширена нотация.

Решение:

В този случай имате три четвърти от единицата.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

С думи би изглеждало така:

Фракцията ¾ съответства на седем десети плюс пет стотни.

Разработени упражнения за нотация

Упражнение 1

Кажете с думи разширения израз на числото 40201 от пример 1.

Решение:

Разработената нотация изглежда така:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

Че на езиков език се казва:

Четири десетки хиляди, плюс нула хиляди, плюс двеста, плюс нули десетки, плюс една единица.

Упражнение 2

Изразете предишната цифра с думи и разбийте съответното изречение в разширена форма.

Решение:

Цифрата 40201 с думи се изразява така:

Четиридесет хиляди двеста една

Предишното изречение може да се развие като:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

Може да се каже, че начинът на произнасяне на фигурите е полуразработен начин за изразяването му.

Упражнение 3

Напишете числото 7/3 в разгънат вид.

Решение:

Това е цифра, изразена като неправилна дроб, тъй като, тъй като числителят е по-голям от знаменателя, цифрата е по-голяма от единство.

Тази неправилна фракция може да бъде разложена като сума от дроби 6/3 + 1/3. Първата от дробите води до цяло число 2, докато 1/3 = 0,333333, където цифрата 3 се повтаря за неопределено време. Така разширеният десетичен израз на фигурата 7/3 винаги ще бъде приблизителен израз:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Упражнение 6

Напишете в стандартна нотация и след това в разширена форма числото: Двадесет и три милиарда двеста петдесет милиона петстотин двадесет и шест хиляди триста двадесет и пет и три двадесет и три хилядни.

Решение:

Трябва да се помни, че милиард е еквивалент на милиард. Думата милиард беше приета от Кралската испанска академия през 1995 г. по искане на покойния президент на Венецуела Рафаел Калдера, член на Венецуелската академия на езика. В този случай цифрата за упражнението в стандартна нотация е написана така:

23,2501526,325,023

23 милиарда + 250 милиона + 526 хиляди + 325 единици + 23 хилядни.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Накрая фигурата е написана в разширена нотация:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Препратки

1. Академия Хан. Графики на стойността на мястото. Възстановено от: es.khanacademy.org
2. Академия Хан. Напишете число в разширена форма (видео). Възстановено от: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Универсална история на фигурите. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Позиционна нотация. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Милиард. Възстановено от: es.wikipedia.com