ОРТОЕДЪР: ФОРМУЛИ, ПЛОЩ, ОБЕМ, ДИАГОНАЛ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В orthohedron е обемен или триизмерна геометрична фигура, която се характеризира с шест правоъгълни страни, така че срещуположните повърхности са успоредни равнини и са еднакви или еднакви правоъгълници. От друга страна, лицата, съседни на дадено лице, са в равнини, перпендикулярни на тази на първоначалното лице.

Ортоедърът също може да се разглежда като ортогонална призма с правоъгълна основа, в която двугранните ъгли, образувани от равнините на две лица, съседни на общ ръб, са с размер 90 °. Двустранният ъгъл между две лица се измерва на пресечната точка на лицата с обща за тях перпендикулярна равнина.

Фигура 1. Ортоедър. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.

По същия начин ортоедърът е правоъгълен паралелепипед, тъй като по този начин паралелепипедът се определя като обемна фигура на шест лица, които са успоредни две по две.

Във всеки паралелепипед лицата са паралелограми, но в правоъгълния паралелепипед лицата трябва да са правоъгълни.

Части от ортоедъра

Частите на многогранник, като ортоедър, са:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Ъгълът между два ръба на лице на ортоедъра съвпада с двугранния ъгъл, образуван от другите му две страни, съседни на всеки от краищата, образуващи прав ъгъл. Следното изображение изяснява всяка концепция:

Фигура 2. Части от ортоедър. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.

-Общо един ортоедър има 6 лица, 12 ръба и 8 върха.

-Ъгълът между всеки два ръба е прав ъгъл.

-Двугранният ъгъл между всяко две лице също е прав.

-В всяко лице има четири върха и във всеки връх има три взаимно ортогонални лица.

Формули за ортоедр

■ площ

Повърхността или площта на ортоедър е сумата от площите на неговите лица.

Ако трите ръба, които се срещат във върха, имат мерки a, b и c, както е показано на фигура 3, тогава предната страна има площ c⋅b, а долната страна също има площ c⋅b.

Тогава двете странични лица имат площ a⋅b всяка. И накрая, подовете и тавана са с лицева повърхност.

Фигура 3. Ортоедър с размери a, b, c. Вътрешен диагонал D и външен диагонал d.

Добавянето на площта на всички лица дава:

Приемане на общ фактор и подреждане на условията:

Сила на звука

Ако ортоедърът се разглежда като призма, тогава обемът му се изчислява така:

В този случай подът с размери c и a се приема като правоъгълна основа, така че площта на основата е c⋅a.

Височината се определя от дължината b на ръбовете, ортогонални спрямо лицата на страните a и c.

Умножаването на площта на основата (a⋅c) по височината b дава обема V на ортоедъра:

Вътрешен диагонал

В ортоедър има два вида диагонали: външните диагонали и вътрешните диагонали.

Външните диагонали са върху правоъгълните лица, докато вътрешните диагонали са сегментите, които се съединяват в две противоположни върхове, като се разбират от противоположни върхове, които не споделят нито един ръб.

В ортоедър има четири вътрешни диагонали, всички с еднаква мярка. Дължината на вътрешните диагонали може да бъде получена чрез прилагане на теоремата на Питагор за правилни триъгълници.

Дължината d на външния диагонал на подовата повърхност на ортоедъра отговаря на питагорейското отношение:

d ² = a ² + c ²

По същия начин вътрешният диагонал на мярка D отговаря на питагорейската връзка:

D ² = d ² + b ².

Комбиниране на двата предишни израза имаме:

D ² = а ² + в ² + б ².

И накрая, дължината на който и да е от вътрешните диагонали на ортоедъра се определя със следната формула:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

Примери

- Пример 1

Тухлар изгражда резервоар във формата на ортоедър, чиито вътрешни размери са: 6 mx 4 m в основата и 2 m на височина. Той пита:

a) Определете вътрешната повърхност на резервоара, ако тя е напълно отворена в горната част.

б) Изчислете обема на вътрешното пространство на резервоара.

в) Намерете дължината на вътрешния диагонал.

г) Каква е капацитетът на резервоара в литри?

Решение за

Ще вземем размерите на правоъгълната основа a = 4 m и c = 6 m и височината като b = 2 m

Площта на ортоедър с дадените размери е дадена от следната връзка:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Това означава:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = 2⋅ (44 m ²) = 88 m ²

Предишният резултат е площта на затворения ортоедър с дадените размери, но тъй като това е резервоар, напълно разкрит в горната му част, за да се получи повърхността на вътрешните стени на резервоара, площта на липсващия капак трябва да бъде извадена, което е:

c⋅a m = 6 ⋅ 4 m = 24 m ².

И накрая, вътрешната повърхност на резервоара ще бъде: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

Решение b

Вътрешният обем на резервоара се определя от обема на ортоедър от вътрешните размери на резервоара:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Решение c

Вътрешният диагонал на октаедър с размерите на вътрешността на резервоара има дължина D, дадена от:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Извършвайки посочените операции, ние имаме:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7.48 m.

Решение г

За да се изчисли капацитетът на резервоара в литри, е необходимо да се знае, че обемът на кубичен дециметър е равен на вместимостта на литър. Преди това е изчислено в обем в кубически метри, но трябва да се трансформира в кубични дециметри и след това в литри:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4 800 dm ³ = 4 800 L

- Упражнение 2

Стъклен аквариум има кубична форма със страна 25 cm. Определете площта в m ², обемът в литри и дължината на вътрешния диагонал в cm.

Фигура 4. Стъклен аквариум с форма на кубика.

Решение

Площта се изчислява по една и съща ортоедрова формула, но като се вземе предвид, че всички размери са идентични:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1,250 cm ²

Обемът на куба се определя от:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

Дължината D на вътрешния диагонал е:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43.30 cm.

Препратки

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Възстановено от: youtube.com.
2. Calculation.cc. Упражнения и решени проблеми на области и обеми. Възстановена от: Calculo.cc.
3. Салвадор Р. Пирамида + ортоедър с GEOGEBRA (IHM). Възстановено от: youtube.com
4. Вайщайн, Ерик. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Възстановено от: es.wikipedia.com