ХИПЕРБОЛИЧЕН ПАРАБОЛОИД: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А хиперболичен параболоид е повърхност, чиято обща уравнение в декартови координати (х, у, Z) отговаря на следното уравнение:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Името "параболоид" идва от факта, че променливата z зависи от квадратите на променливите x и y. Докато прилагателното „хиперболично“ се дължи на факта, че при фиксирани стойности на z имаме уравнението на хипербола. Формата на тази повърхност е подобна на конското седло.

Фигура 1. Хиперболичен параболоид z = x ² - y ². Източник: Ф. Сапата, използвайки Wolfram Mathematica.

Описание на хиперболичния параболоид

За да се разбере същността на хиперболичния параболоид, ще бъде направен следният анализ:

1.- Ще вземем конкретния случай a = 1, b = 1, тоест декартовото уравнение на параболоида остава като z = x ² - y ².

2.- Плоскостите се считат успоредни на равнината ZX, тоест y = ctte.

3.- С y = ctte остава z = x ² - C, които представляват параболи с клоните нагоре и върха под равнината на XY.

Фигура 2. Семейство на кривите z = x ² - C. Източник: F. Zapata, използвайки Geogebra.

4.- С x = ctte остава z = C - y ², които представляват параболи с клоните надолу и върха над равнината на XY.

Фигура 3. Семейство на кривите z = C - y ². Източник: Ф. Сапата през Геогебра.

5.- Със z = ctte остава C = x ² - y ², които представляват хиперболи в равнини, успоредни на равнината XY. Когато C = 0 има две линии (на + 45º и -45º по отношение на оста X), които се пресичат при начала на равнината XY.

Фигура 4. Семейство на кривите x ² - y ² = C. Източник: F. Zapata с помощта на Geogebra..

Свойства на хиперболичния параболоид

1. - Четири различни точки в триизмерното пространство определят един и само един хиперболичен параболоид.

2.- Хиперболичният параболоид е двойно управлявана повърхност. Това означава, че въпреки че е извита повърхност, две различни линии преминават през всяка точка на хиперболичен параболоид, които изцяло принадлежат към хиперболичния параболоид. Другата повърхност, която не е равнина и управлявана двойно, е хиперболоидът на революцията.

Именно второто свойство на хиперболичния параболоид е позволило широкото му използване в архитектурата, тъй като повърхността може да се генерира от прави греди или струни.

Второто свойство на хиперболичния параболоид позволява алтернативно определяне на него: именно повърхността може да се генерира от движеща се права, успоредна на фиксирана равнина и отрязва две неподвижни линии, които служат като водач. Следващата фигура пояснява тази алтернативна дефиниция на хиперболичния параболоид:

Фигура 5. Хиперболичният параболоид е двойно управлявана повърхност. Източник: Ф. Сапата.

Работени примери

- Пример 1

Покажете, че уравнението: z = xy, съответства на хиперболичен параболоид.

Решение

Трансформация ще бъде приложена към променливите x и y, съответстващи на въртене на декартовите оси по отношение на оста Z от + 45º. Старите x и y координати се трансформират в новите x 'и y' в съответствие със следните отношения:

x = x '- y'

y = x '+ y'

докато z координатата остава същата, тоест z = z '.

Като заместваме уравнението z = xy, имаме:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Прилагайки забележимия продукт на разликата по сумата, равна на разликата на квадратите, имаме:

z '= x' ² - y ' ²

което ясно отговаря на първоначално даденото определение на хиперболичен параболоид.

Прихващането на равнините, успоредни на оста XY с хиперболичния параболоид z = xy, определя равностранни хиперболи, които имат като асимптоти равнините x = 0 и y = 0.

- Пример 2

Определете параметрите a и b на хиперболичния параболоид, който преминава през точките A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); С (-2, 1, 32/9) и D (2, -1, 32/9).

Решение

Според неговите свойства четири точки в триизмерното пространство определят един хиперболичен параболоид. Общото уравнение е:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Заменяме дадените стойности:

За точка А имаме 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², уравнение, което е изпълнено, независимо от стойностите на параметрите a и b.

Подменяйки точка Б, получаваме:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Докато за точка С остава:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

И накрая, за точка D получаваме:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Което е идентично с предишното уравнение. В крайна сметка системата от уравнения трябва да бъде решена:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Изваждането на второто уравнение от първото дава:

27/9 = 3 / a ^2, което означава, че a ² = 1.

По подобен начин второто уравнение се изважда от четворката на първото, получавайки:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Което е опростено като:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Накратко, хиперболичният параболоид, който преминава през дадените точки A, B, C и D, има декартово уравнение, дадено от:

z = x ² - (4/9) y ²

- Пример 3

Според свойствата на хиперболния параболоид през всяка точка преминават две линии, които се съдържат изцяло в него. За случая z = x ^ 2 - y ^ 2 намерете уравнението на двете линии, които преминават през точката P (0, 1, -1), ясно принадлежаща към хиперболичния параболоид, така че всички точки на тези линии също принадлежат на същото.

Решение

Използвайки забележителния продукт от разликата на квадратите, уравнението за хиперболичния параболоид може да бъде написано така:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Където c е ненулева константа.

Уравнението x + y = cz и уравнението x - y = 1 / c съответстват на две равнини с нормални вектори n = <1,1, -c> и m = <1, -1,0>. Векторният продукт mxn = <- c, -c, -2> ни дава посоката на линията на пресичане на двете равнини. Тогава една от линиите, която преминава през точката P и принадлежи към хиперболичния параболоид, има параметрично уравнение:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

За да определим c, заместваме точката P в уравнението x + y = cz, получавайки:

с = -1

По подобен начин, но като се имат предвид уравненията (x - y = kz) и (x + y = 1 / k), имаме параметричното уравнение на линията:

= <0, 1, -1> + s с k = 1.

В обобщение, двата реда:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> и = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Те се съдържат напълно в хиперболичния параболоид z = x ² - y ^2, преминаващ през точката (0, 1, -1).

Да предположим, че t = 1, което ни дава точката (1,2, -3) на първия ред. Трябва да проверите дали е и на параболоида z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Което потвърждава, че наистина принадлежи към повърхността на хиперболичния параболоид.

Хиперболичният параболоид в архитектурата

Фигура 6. Океанография на Валенсия (Испания) Източник: Wikimedia Commons.

Хиперболичният параболоид е използван в архитектурата от големите авангардни архитекти, сред които се открояват имената на испанския архитект Антони Гауди (1852-1926) и особено особено испанският Феликс Кандела (1910-1997).

По-долу са някои произведения, базирани на хиперболичния параболоид:

-Капела на град Куернавака (Мексико) дело на архитекта Феликс Кандела.

-Океанографската на Валенсия (Испания), също от Феликс Кандела.

Препратки

1. Енциклопедия на математиката. Правила повърхност. Възстановено от: encyclopediaofmath.org
2. Лера Рубен. Хиперболичен параболоид. Възстановено от: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Хиперболичен параболоид." От MathWorld - уеб ресурс на Wolfram. Възстановени от: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Параболоид. Възстановено от: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Параболоид. Възстановено от: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Правила повърхност. Възстановено от: en.wikipedia.com