ПЕРМУТАЦИИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЕ: ФОРМУЛИ, ДОКАЗАТЕЛСТВА, УПРАЖНЕНИЯ, ПРИМЕРИ - ДУДА - 2025

А пермутация без повторение на п елементи е различните групи от различни елементи, които могат да бъдат получени от не повтаря всеки елемент, само промяна на реда на разположение на елементите.

За да разберете броя на пермутациите без повторение, се използва следната формула:

Pn = n!

Което разширено ще бъде Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Така че в предишния практически пример той ще бъде приложен както следва:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различни четирицифрени числа.

Това са общо 24-те масива: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Както се вижда, в никакъв случай няма повторение, като това е 24 различни числа.

Демо и формули

24 аранжировки от 4 различни фигури

Ще анализираме по-конкретно примера за 24-те различни четирицифрени подредби, които могат да бъдат формирани с цифрите на числото 2468. Броят на подредбите (24) може да бъде известен както следва:

Имате 4 опции за избор на първата цифра, която оставя 3 опции за избор на втората. Две цифри вече са зададени и остават 2 опции за избор на третата цифра. Последната цифра има само една опция за избор.

Следователно, броят на пермутациите, обозначен с P4, се получава от произведението на опциите за избор във всяка позиция:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 различни четирицифрени числа

Като цяло, броят на различни престановки или подреждания, които могат да бъдат изпълнени с всички n елементи на даден набор е:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Изразът n! той е известен като n факторен и означава произведение на всички естествени числа, които се намират между числото n и числото едно, включително и двете.

12 Подреждане на 2 различни фигури

Сега да предположим, че искате да знаете броя на пермутациите или двуцифрени числа, които могат да се образуват с цифрите на числото 2468.

Това ще бъдат общо 12 договорености: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Имате 4 опции за избор на първата цифра, която оставя 3 цифри, за да изберете втората. Следователно, броят на престановките на 4-те цифри, взети две по две, обозначени с 4P2, се получава от произведението на опциите за избор във всяка позиция:

4P2 = 4 * 3 = 12 различни двуцифрени числа

Като цяло, броят на различни престановки или подреждания, които могат да бъдат изпълнени с r елементи от n в даден набор е:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Горният израз се съкращава преди игра на n !. За да завършите n! от него трябва да напишем:

н! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Факторите, които добавяме, от своя страна представляват фактор:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

По този начин, н! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Оттук

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Примери

Пример 1

Колко различни комбинации от 5 букви от букви могат да бъдат изградени с буквите на думата КЛЮЧ?

Искаме да намерим броя на различни комбинации от 5 букви, които могат да бъдат изградени с 5-те букви на думата KEY; тоест броят на 5-буквените масиви, включващи всички букви, налични в думата KEY.

N ° от 5 буквени думи = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 различни комбинации от букви от 5 букви.

Това биха били: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… до 120 различни комбинации от букви.

Пример 2

Имате 15 номерирани топки и искате да знаете Колко различни групи от 3 топки могат да бъдат изградени с 15 номерирани топки?

Искате да намерите броя на групите от 3 топки, които могат да бъдат направени с 15-те номерирани топки.

Брой групи от 3 топки = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Брой групи от 3 топки = 15 * 14 * 13 = 2730 групи от 3 топки

Решени упражнения

Упражнение 1

Магазин за плодове има изложбен щанд, състоящ се от ред отделения, разположени във входното антре към помещенията. За един ден зеленикарят придобива за продажба: портокали, банани, ананаси, круши и ябълки.

а) Колко различни начина трябва да поръчате на изложбения щанд?

б) Колко различни начина трябва да поръчате на щанда, ако в допълнение към споменатите плодове (5) сте получили в този ден: манго, праскови, ягоди и грозде (4)?

а) Искаме да намерим броя различни начини да поръчаме всички плодове в реда за показване; т. е. броят на аранжировките на 5 плодови артикула, които включват всички плодове, предлагани за продажба в този ден.

N ° на подреждане на стойки = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Брой на подреждането на щанда = 120 начина за представяне на стенда

б) Искаме да намерим броя на различните начини да поръчаме всички плодове в реда за показване, ако са добавени 4 допълнителни елемента; т. е. броят на аранжировките на 9 плодови артикула, които включват всички плодове, предлагани за продажба в този ден.

N ° на подреждане на стойки = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Брой на подреждането на стойките = 362 880 начина за представяне на стенда

Упражнение 2

Малък магазин за храна има парцел с достатъчно място за паркиране на 6 превозни средства.

а) Колко различни начина за поръчка на превозните средства в парцела могат да бъдат избрани?

б) Да предположим, че е придобит непрекъснат парцел, чиито размери позволяват паркиране на 10 автомобила Колко различни форми на подреждане на превозни средства могат да бъдат избрани сега?

а) Искаме да намерим броя на различните начини за поръчка на 6-те автомобила, които могат да бъдат настанени в парцела.

Брой разположения на 6-те превозни средства = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Брой договорености на 6-те превозни средства = 720 различни начина за поръчка на 6-те автомобила в парцела.

б) Искаме да намерим броя на различните начини за поръчка на 10-те превозни средства, които могат да бъдат настанени в парцела след разширяването на парцела.

Брой договорености на 10-те превозни средства = P10 = 10!

Брой договорености за превозни средства = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Брой договорености на 10-те превозни средства = 3 628 800 различни начина за поръчка на 10-те превозни средства в парцела.

Упражнение 3

Цветар има цветя от 6 различни цвята, за да направи флорални знамена на народите, които имат само 3 цвята. Ако се знае, че редът на цветовете е важен в знамената, а) Колко различни флагове от 3 цвята могат да бъдат направени с 6-те налични цвята?

б) Продавачът купува цветя от 2 допълнителни цвята към 6-те, които вече е имал, сега колко различни флагове от 3 цвята могат да бъдат направени?

в) Тъй като разполагате с 8 цвята, решавате да разширите гамата си от знамена.Колко различни 4-цветни флага можете да направите?

г) Колко от 2 цвята?

а) Искаме да намерим броя различни флагове от 3 цвята, които могат да бъдат направени, като изберете от 6-те налични цвята.

N ° на 3-цветни флагове = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° на трицветни флагове = 6 * 5 * 4 = 120 флага

б) Искате да намерите броя на различни флагове от 3 цвята, които можете да направите, като изберете от 8-те налични цвята.

N ° на трицветни флагове = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° на трицветни флагове = 8 * 7 * 6 = 336 знамена

в) Броят на различните 4-цветни флагове, които могат да бъдат направени чрез избор от 8-те налични цвята, трябва да се изчисли.

Брой 4 цветни знамена = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Брой 4-цветни флагове = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 знамена

г) Искате да определите броя на различни двуцветни флагове, които могат да бъдат направени, като изберете от 8-те налични цвята.

N ° на двуцветни знамена = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Брой двуцветни флагове = 8 * 7 = 56 флага

Препратки

1. Боада, А. (2017). Използване на пермутация с повторение като преподаване на експерименти. Списание Vivat Academia. Възстановени от researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Вероятност и статистика. Приложения и методи. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Стъкло, Ж.; Stanley, J. (1996). Статистическите методи не се прилагат към социалните науки. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Шпигел, М.; Stephens, L. (2008). Статистика. Четвърто изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Майърс, R.; Майърс, S.; Ка, Ка. (2007 г.). Вероятност и статистика за инженери и учени. Осми изд. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Вебстър, А. (2000). Статистика, прилагана за бизнеса и икономиката. Трето изд. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Пермутации. Възстановено от en.wikipedia.org.